Fonaments Matemàtics

Esteu aquí

Crèdits
6
Tipus
Obligatòria
Requisits
Aquesta assignatura no té requisits, però té capacitats prèvies
Departament
MAT
Web
A l'assignatura de Fonaments Matemàtics s'introdueix la notació i terminologia matemàtica, i es veuran els principals mètodes de demostració necessaris per seguir amb èxit un curs de matemàtiques. A més, s'introdueixen els continguts bàsics de la teoria de conjunts, fent èmfasi especial en els elements relacionats amb la combinatòria. Finalment, es fa una breu introducció a la teoria de grafs.

Professors

Responsable

  • Mercè Mora Giné ( )
  • Montserrat Maureso Sánchez ( )

Hores setmanals

Teoria
2
Problemes
2
Laboratori
0
Aprenentatge dirigit
0.033
Aprenentatge autònom
7

Competències

Competències Transversals

Transversals

  • CT6 [Avaluable] - Aprenentatge autònom. Detectar deficiències en el propi coneixement i superar-les mitjançant la reflexió crítica i l'elecció de la millor actuació per ampliar aquest coneixement.

Competències Tècniques Generals

Genèriques

  • CG4 - Raonar, analitzant la realitat i dissenyant algoritmes i formulacions que la modelin. Identificar problemes i construir solucions algorísmiques o matemàtiques vàlides, eventualment noves, integrant el coneixement multidisciplinari necessari, valorant diferents alternatives amb esperit crític, justificant les decisions preses, interpretant i sintetitzant els resultats en el context de l'domini d'aplicació i establint generalitzacions metodològiques a partir de aplicacions concretes.

Objectius

  1. Conèixer i saber utilitzar la notació sumatori. Ser capaç de manipular expressions amb sumatoris.
    Competències relacionades: CG4,
    Subcompetences:
    • Saber manipular expressions amb sumatoris dobles.
    • Conèixer les progressions aritmètiques i les progressions geomètriques. Saber calcular el terme general i la suma de termes consecutius d'aquestes progressions.
    • Conèixer el símbol de sumatori.
    • Saber manipular expressions amb sumatoris.
  2. Conèixer i saber utilitzar el llenguatge formal i el raonament matemàtic. Ser capaç d'entendre i de fer demostracions.
    Competències relacionades: CT6, CG4,
    Subcompetences:
    • Conèixer els quantificadors universal i existencial.
    • Conèixer els principals mètodes de demostració.
    • Conèixer els principals connectius lògics.
    • Conèixer el principi d'inducció.
    • Ser capaç de fer demostracions matemàtiques senzilles.
  3. Conèixer el llenguatge de la teoria de conjunts.
    Competències relacionades: CG4,
    Subcompetences:
    • Saber que el conjunt de les parts d'un conjunt amb les operacions unió i intersecció té estructura d'àlgebra de Boole.
    • Conèixer les operacions principals de conjunts (unió, intersecció, diferència, complementari, conjunt de les parts, producte cartesià).
    • Saber què són els nombres binomials i conèixer algunes de les seves propietats.
    • Conèixer el principi d'inclusió-exclusió.
    • Saber què és el cardinal d'un conjunt.
  4. Conèixer les relacions d'equivalència.
    Competències relacionades: CG4,
    Subcompetences:
    • Saber què és una relació binària.
    • Saber identificar les relacions binàries que són relacions d'equivalència.
    • Saber què són les classes d'equivalència i què és una partició. Conèixer la relació entre classes d'equivalència i particions.
  5. Conèixer les aplicacions.
    Competències relacionades: CG4,
    Subcompetences:
    • Saber identificar una aplicació.
    • Saber calcular imatges i antiimatges per una aplicació.
    • Saber identificar si una aplicació és injectiva, exhaustiva i/o bijectiva.
    • Saber compondre aplicacions.
    • Saber què és la inversa d'una aplicació. Saber calcular la inversa, si existeix, en casos senzills.
  6. Conèixer els objectes bàsics de la combinatòria.
    Competències relacionades: CG4,
    Subcompetences:
    • Conèixer el principi de les caselles.
    • Conèixer la definició de cardinal d'un conjunt i la diferència principal entre conjunts finits i infinits.
    • Conèixer i saber calcular el nombre de maneres de seleccionar objectes si es té en compte o no l'ordre dels elements, i si s'admet o no repetició d'objectes.
    • Saber calcular el nombre de configuracions amb determinades propietats.
  7. Conèixer el llenguatge de la teoria de grafs.
    Competències relacionades: CT6, CG4,
    Subcompetences:
    • Saber identificar els grafs com a relació binària.
    • Saber identificar els arbres. Conèixer la caracterització i les propietats principals dels arbres.
    • Conèixer la terminologia principal de la Teoria de grafs.
    • Saber identificar els grafs eulerians i els grafs hamiltonians. Conèixer condicions necessàries i/o suficients perquè un graf sigui hamiltonià.
    • Conèixer el Lema de les encaixades. Saber utilitzar-lo per a deduir propietats dels grafs.
    • Conèixer els diferents tipus de recorreguts en un graf. Saber calcular la distància entre dos vèrtexs. Saber calcular el diàmetre i el radi d'un graf. Saber trobar els components connexos d'un graf. Saber què són els vèrtexs de tall i les arestes pont.

Continguts

  1. Sumatoris.
    Notació sumatori. Manipulació de sumatoris. Sumatoris dobles. Progressions aritmètiques i geomètriques.
  2. Raonament.
    Proposicions. Connectius lògics. Taules de veritat. Quantificadors. Mètodes de demostració. Principi d'inducció.
  3. Conjunts.
    Conjunts. Cardinal d'un conjunt. Subconjunts. Representació d'un subconjunt com a paraula binària. Nombres binomials. Operacions amb conjunts: unió, intersecció, diferència, complementari, producte cartesià. Conjunt de les parts d'un conjunt. Principi d'inclusió-exclusió.
  4. Relacions d'equivalència.
    Relacions binàries. Relacions d'equivalència. Classes d'equivalència. Particions. Conjunt quocient.
  5. Aplicacions.
    Aplicacions. Imatges i antiimatges. Composició. Aplicacions injectives, exhaustives i bijectives. Inversa.
  6. Combinatòria.
    Cardinals. Conjunts finits i infinits. Principi de les caselles. Permutacions i combinacions amb i sense repetició.
  7. Grafs.
    Grafs. Maneres de representar un graf. Recorreguts. Grafs eulerians eulerians i hamiltonians. Arbres.

Activitats

Activitat Acte avaluatiu


Sumatoris

L'estudiant ha d'estudiar i assimilar els conceptes explicats a classe de teoria i aplicar-los per fer els exercicis que s'indiquin i que es resoldran a les classes de problemes.
  • Teoria: Teoria de Sumatoris
Objectius: 1
Continguts:
Teoria
2h
Problemes
2h
Laboratori
0h
Aprenentatge dirigit
0h
Aprenentatge autònom
6h

Raonament

L'estudiant ha d'estudiar i assimilar els conceptes explicats a classe de teoria i fer els exercicis que s'indiquin i que es resoldran a les classes de problemes.
Objectius: 2
Continguts:
Teoria
4h
Problemes
4h
Laboratori
0h
Aprenentatge dirigit
0h
Aprenentatge autònom
12h

Conjunts

L'estudiant ha d'estudiar i assimilar els conceptes explicats a classe de teoria i fer els exercicis que s'indiquin i que es resoldran a les classes de problemes.
Objectius: 3
Continguts:
Teoria
4h
Problemes
4h
Laboratori
0h
Aprenentatge dirigit
0h
Aprenentatge autònom
12h

Relacions d'equivalència

L'estudiant ha d'estudiar i assimilar els conceptes explicats a classe de teoria i fer els exercicis que s'indiquin i que es resoldran a les classes de problemes.
Objectius: 4
Continguts:
Teoria
2h
Problemes
2h
Laboratori
0h
Aprenentatge dirigit
0h
Aprenentatge autònom
6h

Examen parcial

Examen parcial corresponent a la primera part del curs.
Objectius: 1 2 3 4
Setmana: 8 (Fora d'horari lectiu)
Tipus: examen de problemes
Teoria
0h
Problemes
0h
Laboratori
0h
Aprenentatge dirigit
2h
Aprenentatge autònom
10h

Aplicacions

L'estudiant ha d'estudiar i assimilar els conceptes explicats a classe de teoria i fer els exercicis que s'indiquin i que es resoldran a les classes de problemes.
Objectius: 5
Continguts:
Teoria
2h
Problemes
2h
Laboratori
0h
Aprenentatge dirigit
0h
Aprenentatge autònom
6h

Combinatòria

L'estudiant ha d'estudiar i assimilar els conceptes explicats a classe de teoria i fer els exercicis que s'indiquin i que es resoldran a les classes de problemes.
Objectius: 6
Continguts:
Teoria
4h
Problemes
4h
Laboratori
0h
Aprenentatge dirigit
0h
Aprenentatge autònom
12h

Grafs

L'estudiant ha d'estudiar i assimilar els conceptes explicats a classe de teoria i fer els exercicis que s'indiquin i que es resoldran a les classes de problemes.
Objectius: 7
Continguts:
Teoria
8h
Problemes
8h
Laboratori
0h
Aprenentatge dirigit
0h
Aprenentatge autònom
20h

Examen final

Examen final sobre els continguts de la segona part del curs, però que pot requerir del coneixement i apicació dels mètodes vistos a la primera part del curs,
Objectius: 1 2 3 4 5 6 7
Setmana: 15 (Fora d'horari lectiu)
Tipus: examen final
Teoria
0h
Problemes
0h
Laboratori
0h
Aprenentatge dirigit
3h
Aprenentatge autònom
20h

Metodologia docent

Les classes de teoria consistiran en l'exposició dels continguts teòrics juntament amb exemples i aplicacions.

A les classes de problemes es resoldran es exercicis que hauran de preparar prèviament els estudiants.

Mètode d'avaluació

La nota de l'assignatura s'obtindrà a partir de:
-un examen parcial, P;
-un examen final F que tindrà dues parts, F1 i F2;
-la valoració del treball i l'assoliment d'objectius al llarg del curs, C.

A l'examen parcial s'avaluaran els continguts de la primera part de l'assignatura.

La part F1 de l'examen final serà optativa i s'avaluaran els continguts de la primera part de l'assignatura. A la part F2 s'avaluaran principalment els continguts de la segona part de l'assignatura, però pot requerir aplicar coneixements i mètodes vistos a la primera part.
Els exàmens parcial i final es faran fora d'hores de classe.

A més, s'avaluarà el treball continuat de l'estudiant mitjançant qüestionaris i/o l'entrega de problemes realitzats en o fora d'hores de classe.

L'avaluació de la competència transversal està inclosa en les proves abans indicades, ja que es requereix l'aplicació de la competència per assolir els objectius de l'assignatura.

La nota final de l'assignatura serà:
max{0.30*P,0.30*F1}+0.50*F2 +0.20*C.
on P, F1, F2 i C són les notes sobre 10 dels exàmens parcial, de les dues parts de l'examen final i del treball continuat, respectivament.

Bibliografia

Bàsica:

Complementaria:

Capacitats prèvies

Se suposa que l'estudiant ha assolit els objectius i coneixements de les matemàtiques de l'educació secundària prèvia a l'accés a la universitat.

Addenda

Continguts

No es preveu cap canvi de continguts.

Metodologia docent

La metodologia docent s'adequarà a la situació del moment. Es faran de forma no presencial amb Meet les activitats que no es puguin dur a terme de forma presencial.

Mètode d'avaluació

Està previst fer els exàmens parcial i final de forma presencial. Si la situació no ho permetès, es farien de forma no presencial amb Meet i/o la plataforma Atenea, o qualsevol medi similar facilitat per la UPC.

Pla de contingència

Si no fos possible dur a terme activitats presencials, es farien tant les classses de teoria, com de problemes de forma no presencial amb Meet, així com tots els actes d'avaluació de forma no presencial utilitzant Meet i/o la plataforma Atenea.