Aquesta assignatura té dues parts. A la primera part, s'exposen els principis de lògica proposicional i de predicats i de raonament matemàtic necessaris pel curriculum. A la segona, s'estudien els conceptes bàsics de l'aritmètica dels enters: divisibilitat i congruències.
Professorat
Responsable
Rafel Farré Cirera (
)
Altres
Aitor Sort Nadal (
)
Andreu Bellés Roca (
)
Eric López Platón (
)
Fernando Martínez Sáez (
)
Francesc Tiñena Salvañà (
)
Gemma Alsina Ruiz (
)
Guillermo González Casado (
)
Jaume Marti Farre (
)
Lluis Vena Cros (
)
Maria Isabel Gonzalez Perez (
)
Mariona González Esteve (
)
Mónica Sanchez Soler (
)
Montserrat Maureso Sánchez (
)
Oriol Valentin Fernandez Gallart (
)
Roberto Gualdi (
)
Victoria Graffigna (
)
Hores setmanals
Teoria
3
Problemes
0
Laboratori
2
Aprenentatge dirigit
0
Aprenentatge autònom
7.5
Competències
Competències Tècniques
Competències tècniques comunes
CT1 - Demostrar coneixement i comprensió de fets essencials, conceptes, principis i teories relatives a la informàtica i a les seves disciplines de referència.
CT1.2A
- Interpretar, seleccionar i valorar conceptes, teories, usos i desenvolupaments tecnològics relacionats amb la informàtica i la seva aplicació a partir dels fonaments matemàtics, estadístics i físics necessaris. CEFB1: capacitat per a resoldre els problemes matemàtics que es plantegin en la enginyeria. Aptitud per a aplicar els coneixements sobre: àlgebra, càlcul diferencial i integral i mètodes numèrics; estadística i optimització.
CT1.2C
- Interpretar, seleccionar i valorar conceptes, teories, usos i desenvolupaments tecnològics relacionats amb la informàtica i la seva aplicació a partir dels fonaments matemàtics, estadístics i físics necessaris. CEFB3. Capacitat per a comprendre i dominar els conceptes bàsics de matemàtica discreta, lògica, algorísmica i complexitat computacional, i la seva aplicació per al tractament automàtic de la informació mitjançant sistemes computacionals i la seva aplicació per a la resolució de problemes propis de l'enginyeria.
Competències Transversals
Raonament
G9 [Avaluable] - Capacitat de raonament crític, lògic i matemàtic. Capacitat de resoldre problemes en la seva àrea d'estudi. Capacitat d'abstracció: capacitat de crear i utilitzar models que reflecteixin situacions reals. Capacitat de dissenyar i realitzar experiments senzills, i analitzar-ne i interpretar-ne els resultats. Capacitat d'anàlisi, de síntesi i d'avaluació.
G9.1
- Capacitat de raonament crític, lògic i matemàtic. Capacitat per comprendre l'abstracció i utilitzar-la adequadament.
Objectius
Comprendre la importància del llenguatge en la comunicació científica i la necessitat de delimitar-lo i concretar-lo per evitar, en la mesura del què és possible, la ambigüitat
Competències relacionades:
G9.1,
Entendre en què consisteix una demostació matemàtica i conèixer els principals tipus de demostracions amb les quals es trobarà l'estudiant
Competències relacionades:
G9.1,
Entendre el llenguatge dels conjunts com una eina imprescindible en la comunicació matemàtica i també com un instrument
Competències relacionades:
G9.1,
Entendre el llenguatge de les aplicacions com la manera de concretar i estudiar correspondències i regles
Competències relacionades:
G9.1,
Entendre que per a demostrar que una certa propietat és vàlida per a una infinitat de nombres no es pot anar testejant la propietat nombre a nombre sinó que cal usar algun principi que ens possibiliti la demostració
Competències relacionades:
G9.1,
Entendre les propietats de la divisibilitat de nombres enters, calcular el màxim comú divisor aplicant l'algorisme d'Euclides i escriure la identitat de Bézout de dos enters. Calcular nombres primers petits i entendre la dificultat computacional de la factorització d'enters.
Competències relacionades:
CT1.2A,
CT1.2C,
G9.1,
Entendre el concepte de congruència i calcular amb congruències. Aplicar el llenguatge de congruències per a resoldre problemes aritmètics.
Competències relacionades:
CT1.2A,
CT1.2C,
G9.1,
Continguts
Raonament
Oracions, enunciats i proposicions. Càlcul proposicional formal. Demostracions. Lògica de predicats.
El principi d'inducció
Inducció simple. Inducció completa.
Conjunts
Conjunts i elements, relació de pertinença. Operacions elementals amb conjunts. Relacions. Relacions d'equivalència i conjunt quocient.
Funcions
Funcions. Injectivitat i exhaustivitat. Funció inversa. Imatge i antiimatge. Composició.
Divisibilitat dels nombres enters
La relació de divisibilitat al conjunt dels nombres enters. Teorema de la divisió entera. Nombres primers. Infinitud dels nombres primers. Garbell d'Eratòstenes. Màxim comú divisor i mínim comú múltiple. Algorisme d'Euclides. Identitat de Bézout. Lema de Gauss.
Congruències de nombres enters
La relació de congruència. Operacions amb congruències. Inversos modulars: càlcul. Classes de congruència i el conjunt quocient Zn. Operacions amb classes de congruència.
Aplicacions de les congruències
Exponenciació modular. Equacions lineals en congruències. Teorema xinès dels residus.
El sistema de criptogràfia RSA.
A les classes de teoria s'impartiran els continguts teòrics de l'assignatura i s'il·lustraran amb exemples. Als tallers els estudiants treballaran, guiats pel professor, els temes explicats a teoria
Mètode d'avaluació
* Hi ha dos exàmens parcials fora d'horari de classe (35% + 35%). Qualificació: P1 (sobre 10) i P2 (sobre 10).
* Es valorarà el treball i l'assoliment d'objectius en algunes sessions de laboratori (20%). Qualificació: L (sobre 10)
*Hi haurà diversos tests ATENeA (10%). Qualificació: A (sobre 10)
*La nota d'avaluació continuada dels curs és la següent AC:
AC= 0.35*P1+0.35*P2+0.2*L+0.1*A
*L'alumnat pot presentar-se a l'examen final (100%). Qualificació F (sobre 10)
* La nota del curs és el màxim entre AC i F: max(AC, F)
Bibliografia
Bàsica:
Apunts de FONAMENTS MATEMÀTICS, part 1 -
Farré, Rafel,
Apunts de FONAMENTS MATEMÀTICS, part 2 -
Farré, Rafel,