Fonaments Matemàtics

• Professorat
• Hores setmanals
• Competències
• Objectius
• Continguts
• Activitats
• Metodologia docent
• Mètode d'avaluació
• Bibliografia
• Capacitats prèvies

Professorat

Responsable

• Rafel Farré Cirera ( )

Altres

• Fernando Martínez Sáez ( )
• Gemma Alsina Ruiz ( )
• Jose Luis Ruiz Muñoz ( )

Hores setmanals

Competències

Competències Tècniques

Competències tècniques comunes

• CT1 - Demostrar coneixement i comprensió de fets essencials, conceptes, principis i teories relatives a la informàtica i a les seves disciplines de referència.
  • CT1.2A - Interpretar, seleccionar i valorar conceptes, teories, usos i desenvolupaments tecnològics relacionats amb la informàtica i la seva aplicació a partir dels fonaments matemàtics, estadístics i físics necessaris. CEFB1: capacitat per a resoldre els problemes matemàtics que es plantegin en la enginyeria. Aptitud per a aplicar els coneixements sobre: àlgebra, càlcul diferencial i integral i mètodes numèrics; estadística i optimització.
  • CT1.2C - Interpretar, seleccionar i valorar conceptes, teories, usos i desenvolupaments tecnològics relacionats amb la informàtica i la seva aplicació a partir dels fonaments matemàtics, estadístics i físics necessaris. CEFB3. Capacitat per a comprendre i dominar els conceptes bàsics de matemàtica discreta, lògica, algorísmica i complexitat computacional, i la seva aplicació per al tractament automàtic de la informació mitjançant sistemes computacionals i la seva aplicació per a la resolució de problemes propis de l'enginyeria.

Competències Transversals

Raonament

• G9 [Avaluable] - Capacitat de raonament crític, lògic i matemàtic. Capacitat de resoldre problemes en la seva àrea d'estudi. Capacitat d'abstracció: capacitat de crear i utilitzar models que reflecteixin situacions reals. Capacitat de dissenyar i realitzar experiments senzills, i analitzar-ne i interpretar-ne els resultats. Capacitat d'anàlisi, de síntesi i d'avaluació.
  • G9.1 - Capacitat de raonament crític, lògic i matemàtic. Capacitat per comprendre l'abstracció i utilitzar-la adequadament.

Objectius

1. Comprendre la importància del llenguatge en la comunicació científica i la necessitat de delimitar-lo i concretar-lo per evitar, en la mesura del què és possible, la ambigüitat
   Competències relacionades: G9.1,
2. Entendre en què consisteix una demostació matemàtica i conèixer els principals tipus de demostracions amb les quals es trobarà l'estudiant
   Competències relacionades: G9.1,
3. Entendre el llenguatge dels conjunts com una eina imprescindible en la comunicació matemàtica i també com un instrument
   Competències relacionades: G9.1,
4. Entendre el llenguatge de les aplicacions com la manera de concretar i estudiar correspondències i regles
   Competències relacionades: G9.1,
5. Entendre que per a demostrar que una certa propietat és vàlida per a una infinitat de nombres no es pot anar testejant la propietat nombre a nombre sinó que cal usar algun principi que ens possibiliti la demostració
   Competències relacionades: G9.1,
6. Entendre les propietats de la divisibilitat de nombres enters, calcular el màxim comú divisor aplicant l'algorisme d'Euclides i escriure la identitat de Bézout de dos enters. Calcular nombres primers petits i entendre la dificultat computacional de la factorització d'enters.
   Competències relacionades: CT1.2A, CT1.2C, G9.1,
7. Entendre el concepte de congruència i calcular amb congruències. Aplicar el llenguatge de congruències per a resoldre problemes aritmètics.
   Competències relacionades: CT1.2A, CT1.2C, G9.1,

Continguts

1. Raonament
   Oracions, enunciats i proposicions. Càlcul proposicional formal. Demostracions. Lògica de predicats.
2. El principi d'inducció
   Inducció simple. Inducció completa.
3. Conjunts
   Conjunts i elements, relació de pertinença. Operacions elementals amb conjunts. Relacions. Relacions d'equivalència i conjunt quocient.
4. Funcions
   Funcions. Injectivitat i exhaustivitat. Funció inversa. Imatge i antiimatge. Composició.
5. Divisibilitat dels nombres enters
   La relació de divisibilitat al conjunt dels nombres enters. Teorema de la divisió entera. Nombres primers. Infinitud dels nombres primers. Garbell d'Eratòstenes. Màxim comú divisor i mínim comú múltiple. Algorisme d'Euclides. Identitat de Bézout. Lema de Gauss.
6. Congruències de nombres enters
   La relació de congruència. Operacions amb congruències. Inversos modulars: càlcul. Classes de congruència i el conjunt quocient Zn. Operacions amb classes de congruència.
7. Aplicacions de les congruències
   Exponenciació modular. Equacions lineals en congruències. Teorema xinès dels residus.
   El sistema de criptogràfia RSA.

Activitats

Activitat Acte avaluatiu

Metodologia docent

Mètode d'avaluació

Bibliografia

Bàsica:

• Apunts de FONAMENTS MATEMÀTICS, part 1 - Farré, Rafel,
  
• Apunts de FONAMENTS MATEMÀTICS, part 2 - Farré, Rafel,
  
• Matemática discreta y sus aplicaciones - Rosen, Kenneth H; Pérez Morales, José Manuel, McGraw-Hill, cop. 2004. ISBN: 8448140737
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991002813919706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca

Complementaria:

• Teoría y problemas de teoría de conjuntos y temas afines - Lipschutz, S, McGraw-Hill , 1970. ISBN: 007091625X
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991001934379706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca
• ¿La Dama o el tigre? y otros pasatiempos lógicos : incluyendo una novela matemática que presenta el gran descubrimiento de Gödel - Smullyan, R.M, Cátedra , 2017. ISBN: 9788437604145
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991004152489706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca
• 2000 problemas resueltos de matemática discreta - Lipschutz, S.; Lipson, M.L, McGraw-Hill , 2004. ISBN: 9788448142780
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991002929429706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca
• ¿Cómo se llama este libro?: el enigma de Drácula y otros pasatiempos lógicos - Smullyan, R.M, Cátedra , 2008. ISBN: 9788437602974
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991003838469706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca

Capacitats prèvies