Fundamentos Matemáticos

• Horas semanales
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• Contenidos
• Actividades
• Metodología docente
• Método de evaluación
• Bibliografía
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• Capacidades previas

Profesorado

Responsable

• Mercè Mora Giné ( )
• Montserrat Maureso Sánchez ( )

Horas semanales

Competencias

Competencias Transversales

Transversales

• CT6 [Avaluable] - Aprendizaje autónomo. Detectar deficiencias en el propio conocimiento y superarlas mediante la reflexión crítica y la elección de la mejor actuación para ampliar dicho conocimiento.

Competencias Técnicas Genéricas

Genéricas

• CG4 - Razonar, analizando la realidad y diseñando algoritmos y formulaciones que la modelen. Identificar problemas y construir soluciones algorítmicas o matemáticas válidas, eventualmente nuevas, integrando el conocimiento multidisciplinar necesario, valorando distintas alternativas con espíritu crítico, justificando las decisiones tomadas, interpretando y sintetizando los resultados en el contexto del dominio de aplicación y estableciendo generalizaciones metodológicas a partir de aplicaciones concretas.

Objetivos

1. Conocer y saber utilizar la notación de sumatorio. Ser capaz de manipular expresiones con sumatorios.
   Competencias relacionadas: CG4,
   Subcompetences:
   • Saber manipular expresiones con sumatorios dobles.
   • Conocer las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas. Saber calcular el término general y la suma de términos consecutivos de estas progresiones.
   • Conocer el símbolo de sumatorio.
   • Saber manipular expresiones con sumatorios.
2. Conocer y saber utilizar el lenguaje formal y el razonamiento matemático. Ser capaz de entemder y hacer demostraciones.
   Competencias relacionadas: CT6, CG4,
   Subcompetences:
   • Conocer los cuantificadores universal y existencial.
   • Conocer los principales métodos de demostración.
   • Conocer los principales conectivos lógicos.
   • Conocer el principio de inducción.
   • Ser capaz de hacer demostraciones matemáticas sencillas.
3. Conocer el lenguaje de la teoria de conjuntos.
   Competencias relacionadas: CG4,
   Subcompetences:
   • Saber que el conjunto de las partes de un conjunto con las operaciones unión e intersección tiene estructura de álgebra de Boole.
   • Conocer las operaciones principales de conjuntos (unión, intersección, diferencia, complementario, conjunto de las partes, producto cartesiano).
   • Saber qué son los números binomiales y conocer algunas de sus propiedades.
   • Saber qué es el cardinal de un conjunto.
4. Conocer las relaciones de equivalencia.
   Competencias relacionadas: CG4,
   Subcompetences:
   • Saber qué es una relación binaria.
   • Saber identificar las relaciones binarias que son relaciones de equivalencia.
   • Saber qué son las clases de equivalencia y qué es una partición. Conocer la relación entre clases de equivalencia y particiones.
5. Conocer las aplicaciones.
   Competencias relacionadas: CG4,
   Subcompetences:
   • Saber identificar una aplicación.
   • Saber calcular imágenes y antiimágenes por una aplicación.
   • Saber identificar si una aplicación es inyectiva, exhaustiva y/o biyectiva.
   • Saber componer aplicaciones.
   • Saber qué es la inversa de una aplicación. Saber calcular la inversa, si existe, en casos sencillos.
6. Conocer los objetos básicos de la combinatoria.
   Competencias relacionadas: CG4,
   Subcompetences:
   • Conocer el principio del palomar.
   • Conocer la definición de cardinal de un conjunto y la diferencia principal entre conjuntos finitos e infinitos.
   • Conocer y saber calcular el número de maneras de seleccionar objetos si se tiene en cuenta o no el orden de los elementos, y si se admite o no repetición de objetos.
   • Saber calcular el número de configuraciones con determinadas propiedades.
7. Conocer el lenguaje de la teoria de grafos.
   Competencias relacionadas: CT6, CG4,
   Subcompetences:
   • Saber identificar los grafos como relación binaria.
   • Saber identificar los árboles. Conocer la caracterización y las propiedades de los árboles.
   • Conocer la terminología principal de la Teoría de grafos.
   • Conocer el Lema del apretón de manos. Saber utilizarlo para deducir propiedades de los grafos.
   • Conocer los diferentes tipos de recorridos en un grafo. Saber calcular la distancia entre dos vértices. Saber calcular el diámetro y el radio de un grafo. Saber encontrar las componentes conexas de un grafo. Saber qué son los vértices de corte y las aristas puente.

Contenidos

1. Formalismo y demostraciones.
   Notación sumatorio. Manipulación de sumatorios. Sumatorios dobles. Progresiones aritméticas y geométricas.
   Proposiciones. Conectivos lógicos. Tablas de verdad. Cuantificadores. Métodos de demostracion. Principio de inducción.
2. Teoría de conjuntos
   Conjuntos. Cardinal de un conjunto. Subconjuntos. Representación de un subconjunto como palabra binaria. Números binomiales. Operaciones con conjuntos: unión, intersección, diferencia, complementario, producto cartesiano. Conjunto de las partes de un conjunto.
   Relaciones binarias. Relaciones de equivalencia. Clases de equivalencia. Particiones. Conjunto cociente.
   Aplicaciones. Imágenes y antiimágenes. Composición. Aplicaciones inyectivas, exhaustivas y biyectivas. Inversa.
3. Combinatoria
   Cardinales. Conjuntos finitos e infinitos. Principio del palomar. Permutaciones y combinaciones con y sin repetición. Números binomiales. Permutaciones de un multiconjunto. Números multinomiales. Principio de inclusión-exclusión.
4. Grafos
   Grafos. Formas de representar un grafo. Grados. Matriz de adyacencia. Lema del apretón de manos. Isomorfismo de grafos. Operaciones con grafos. Recorridos. Conexión. Distancia. Vértices de corte y aristas puente. Árboles. Árboles generadores.

Actividades

Actividad Acto evaluativo

Metodología docente

Método de evaluación

Bibliografía

Básica:

• Matemática discreta y sus aplicaciones - Rosen, Kenneth H; Pérez Morales, José Manuel, McGraw-Hill, cop. 2004. ISBN: 8448140737
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991002813919706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca
• Discrete mathematics - Biggs, Norman L, Oxford University Press, 2002. ISBN: 9780198507178
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991003169029706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca
• Apropament a la teoria de grafs i als seus algorismes - Gimbert i Quintilla, Joan, Universitat de Lleida, 1998. ISBN: 9788489727656
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991001759319706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca

Complementaria:

• Cómo hablar, demostrar y resolver en matemáticas - Guzmán, Miguel de, Anaya , cop. 2003. ISBN: 8466726136
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991002683269706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca
• Matemática discreta - Biggs, Norman L, Vicens-Vives , 1994. ISBN: 9788431633110
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991001046059706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca
• Discrete mathematics with proof - Gossett, Eric, John Wiley & Sons , cop. 2009. ISBN: 9780470457931
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991003820179706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca
• Matemática discreta - Comellas Padró, Francesc, Edicions UPC , 2001. ISBN: 9788483014561
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991002215499706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca

Web links

• Pàgina web de l'assignatura (en construcció) https://web.mat.upc.edu/fib/fm-gia/

Capacidades previas