Matemáticas I

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• Objetivos
• Contenidos
• Actividades
• Metodología docente
• Método de evaluación
• Bibliografía
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• Capacidades previas

Profesorado

Responsable

• Mercè Mora Giné ( )

Otros

• Albert Vives Batalla ( )
• Clément Requilé ( )
• Eric López Platón ( )
• Fabian Maximilian Klute ( )
• Fernando Martínez Sáez ( )
• Gemma Alsina Ruiz ( )
• Jordi Massó Cuscó ( )
• Jose Luis Ruiz Muñoz ( )
• Juan Antonio Delgado Guerrero ( )
• Mariona González Esteve ( )
• Núria Mira Gómez ( )
• Rodrigo Ignacio Silveira ( )

Horas semanales

Competencias

Competencias Técnicas

Competencias técnicas comunes

• CT1 - Demostrar conocimiento y comprensión de hechos esenciales, conceptos, principios y teorías relativas a la informática y a sus disciplinas de referencia.
  • CT1.2A - Demostrar conocimiento y comprensión de los conceptos fundamentales de la programación y de la estructura básica de un computador. CEFB5. Conocimiento de la estructura, funcionamiento e interconexión de los sistemas informáticos, así como los fundamentos de su programación.
  • CT1.2C - Interpretar, seleccionar y valorar conceptos, teorías, usos y desarrollos tecnológicos relacionados con la informática y su aplicación a partir de los fundamentos matemáticos, estadísticos y físicos necesarios. CEFB1: Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantarse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: algebra, cálculo diferencial e integral i métodos numéricos; estadística y optimización.

Competencias Transversales

Razonamiento

• G9 [Avaluable] - Capacidad de razonamiento crítico, lógico y matemático. Capacidad para resolver problemas dentro de su área de estudio. Capacidad de abstracción: capacidad de crear y utilizar modelos que reflejen situaciones reales. Capacidad de diseñar y realizar experimentos sencillos, y analizar e interpretar sus resultados. Capacidad de análisis, síntesis y evaluación.
  • G9.1 - Capacidad de razonamiento crítico, lógico y matemático. Capacidad para comprender la abstracción y utilizarla adecuadamente.

Objetivos

1. Conocer el concepto de grafo como modelo de relación binaria. Saber trabajar con las diferentes representaciones de un grafo; en particular, saber encontrar los principales parámetros de un grafo y saber decidir justificadamente si dos grafos dados son isomorfos.
   Competencias relacionadas: G9.1, CT1.2C,
2. Conocer las definiciones relativas a recorridos, conexión y distancia en grafos, y saber trabajar con estos conceptos y sus relaciones a nivel teórico y práctico. Conocer y saber aplicar algoritmos para determinar la conectividad y para calcular distancias en grafos.
   Competencias relacionadas: G9.1, CT1.2C,
3. Conocer los conceptos de grafo euleriano y de grafo hamiltoniano y saber determinar, justificadamente, si un grafo es euleriano o hamiltoniano. Ser consciente de que se trata de dos problemas en apariencia similares pero muy diferentes desde el punto de vista teórico y computacional.
   Competencias relacionadas: G9.1, CT1.2C,
4. Saber qué es un árbol y saber trabajar con las diferentes definiciones equivalentes. Conocer el concepto de árbol generador y su relación con la conectividad, conocer y saber aplicar algoritmos para encontrarlos. Saber codificar árboles con la secuencia de Prüfer.
   Competencias relacionadas: G9.1, CT1.2C,
5. Saber operar con matrices. Conocer las operaciones elementales por filas, saber aplicarlas para encontrar el rango de una matriz y para decidir si una matriz es invertible. Conocer las propiedades básicas de los determinantes, saberlas deducir y saberlas aplicar a los cálculos.
   Competencias relacionadas: G9.1, CT1.2A,
6. Conocer y saber aplicar el método de Gauss-Jordan para discutir y resolver sistemas lineales, y para calcular la inversa de una matriz.
   Competencias relacionadas: CT1.2A,
7. Saber qué es un espacio vectorial. Conocer los conceptos de subespacio vectorial, dependencia e independencia lineal, y base. Saber probar propiedades básicas sobre estos conceptos y sus relaciones.
   Competencias relacionadas: G9.1, CT1.2A,
8. Saber operar en un espacio vectorial. Saber trabajar a nivel práctico con los conceptos de subespacio vectorial, combinación lineal, generadores, dependencia lineal y bases. Saber encontrar la matriz de un cambio de base.
   Competencias relacionadas: CT1.2A,
9. Conocer los conceptos de aplicación lineal, núcleo, imagen, isomorfismo, endomorfismo. Saber probar propiedades básicas sobre estos conceptos y sus relaciones.
   Competencias relacionadas: G9.1, CT1.2A,
10. Saber decidir si una aplicación es lineal. Saber trabajar a nivel práctico con los conceptos de núcleo, imagen, endomorfismo y isomorfismo. Saber encontrar la matriz asociada a una aplicación lineal y saber cambiarla de base.
    Competencias relacionadas: CT1.2A,
11. Saber qué son un valor propio, un vector propio y el polinomio característico de un endomorfismo, y saberlos encontrar. Saber probar propiedades básicas sobre los conceptos anteriores. Saber decidir si un endomorfismo es diagonalizable y, en caso afirmativo, saberlo diagonalizar.
    Competencias relacionadas: G9.1, CT1.2A,

Contenidos

1. Conceptos básicos de grafos
   Definición de grafo; matrices de adyacencia y de incidencia, lema de las encajadas de manos y sus consecuencias; isomorfismo de grafos, tipos de grafos, subgrafos; operaciones en grafos.
2. Recorridos, conexión y distancia
   Definiciones de recorrido, camino, ciclo, algunas propiedades de los recorridos; definiciones de grafo conexo y componentes conexas; algoritmo DFS; desigualdad m>= n-1; definiciones de vértices de corte y aristas puente; caracterización; definiciones de distancia y diámetro; algoritmo BFS, caracterización de grafos bipartitos.
3. Grafos eulerianos y hamiltonianos
   Definiciones de circuito, sendero y grafo euleriano; caracterización de grafos eulerianos, definiciones de ciclo, camino y grafo hamiltoniano; condiciones necesarias para ser hamiltoniano; los teoremas de Ore y de Dirac.
4. Árboles
   Definiciones de bosque, árbol y hoja; caracterización de árboles y corolarios; definición de árbol generador; revisión de DFS y BFS, el teorema de Cayley.
5. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
   Definición de matriz y tipo de matrices; operaciones lineales y propiedades; producto de matrices y matriz inversa; matriz transpuesta y relación con las operaciones; operaciones elementales por filas; matrices elementales; matriz escalonada por filas; rango de una matriz para filas; cálculo de la matriz inversa; sistemas de ecuaciones lineales y sistemas equivalentes; discusión y resolución mediante Gauss-Jordan; definición recursiva de determinante; propiedades de los determinantes; menores de una matriz y relación con el rango.
6. Espacios vectoriales
   Definición de espacio vectorial; definición de subespacio y caracterización equivalente; subespacio generado; combinaciones lineales, sistemas de generadores; independencia lineal y propiedades; bases y coordenadas, dimensión; cambios de base, matriz del cambio de base.
7. Aplicaciones lineales
   Definición de aplicación lineal y propiedades; aplicación lineal definida por una matriz; matriz de una aplicación lineal; núcleo e imagen, teorema de la dimensión; caracterización de aplicaciones inyectivas y exhaustivas, isomorfismo de espacios vectoriales, espacios isomorfos; composición de aplicaciones, cambios de base y aplicaciones lineales; interpretación geométrica de aplicaciones lineales en el plano y el espacio.
8. Diagonalización
   Valores y vectores propios; diagonalización de aplicaciones lineales; matrices simétricas.

Actividades

Actividad Acto evaluativo

Metodología docente

Método de evaluación

Bibliografía

Básica:

• Apropament a la teoria de grafs i als seus algorismes - Gimbert Quintilla, J. [et al.], Edicions de la Universitat de Lleida ; F.V. Libros, 1998. ISBN: 8489727651
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991001759319706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca
• Fundamentos de álgebra lineal - Larson, R, Cengage learning, 2016. ISBN: 9786075198033
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991004119889706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca

Complementaria:

• Combinatòria i teoria de grafs - Brunat Blay, J.M, Edicions UPC , 1997. ISBN: 8483012162
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991002017299706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca
• Matemàtica discreta: problemes resolts - Trias Pairó, J, Edicions UPC , 2001. ISBN: 8483014866
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991002243339706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca
• Álgebra lineal con aplicaciones - Williams, G, McGraw-Hill , 2002. ISBN: 970103838X
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991002482329706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca
• Matemática discreta y sus aplicaciones - Rosen, K.H, McGraw-Hill Interamericana , 2004. ISBN: 8448140737
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991002813919706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca
• Matrius i vectors - Llerena, I.; Miró-Roig, R.M, Publicacions i Edicions de la Universitat de Barcelona , 2010. ISBN: 9788447534685
  https://discovery.upc.edu/discovery/fulldisplay?docid=alma991003828609706711&context=L&vid=34CSUC_UPC:VU1&lang=ca

Web links

• Pàgina web de l'assignatura https://mat-web.upc.edu/fib/matematiques1/

Capacidades previas