Matemáticas 1

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Créditos
7.5
Tipos
Obligatoria
Requisitos
Esta asignatura no tiene requisitos

Departamento
MAT
En esta asignatura se continúan desarrollando los conceptos de razonamiento introducidos en la asignatura Fundamentos Matemáticos, a la vez que se estudian dos temas con los que cualquier ingeniero informático ha de estar familiarizado: la teoria de grafos y el álgebra lineal.

Profesores

Responsable

  • Montserrat Maureso Sánchez ( )

Otros

  • Anna De Mier Vinué ( )
  • Anna Rio Doval ( )
  • Carlos Seara Ojea ( )
  • Fernando Martínez Sáez ( )
  • Josep Elgueta Monto ( )

Horas semanales

Teoría
3
Problemas
0
Laboratorio
2
Aprendizaje dirigido
0.5
Aprendizaje autónomo
7

Competencias

Competencias Técnicas

Competencias técnicas comunes

  • CT1 - Demostrar conocimiento y comprensión de hechos esenciales, conceptos, principios y teorías relativas a la informática y a sus disciplinas de referencia.
    • CT1.2A - Demostrar conocimiento y comprensión de los conceptos fundamentales de la programación y de la estructura básica de un computador. CEFB5. Conocimiento de la estructura, funcionamiento e interconexión de los sistemas informáticos, así como los fundamentos de su programación.
    • CT1.2C - Interpretar, seleccionar y valorar conceptos, teorías, usos y desarrollos tecnológicos relacionados con la informática y su aplicación a partir de los fundamentos matemáticos, estadísticos y físicos necesarios. CEFB1: Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantarse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: algebra, cálculo diferencial e integral i métodos numéricos; estadística y optimización.

Competencias Transversales

Razonamiento

  • G9 - Capacidad de razonamiento crítico, lógico y matemático. Capacidad para resolver problemas dentro de su área de estudio. Capacidad de abstracción: capacidad de crear y utilizar modelos que reflejen situaciones reales. Capacidad de diseñar y realizar experimentos sencillos, y analizar e interpretar sus resultados. Capacidad de análisis, síntesis y evaluación.
    • G9.1 - Capacidad de razonamiento crítico, lógico y matemático. Capacidad para comprender la abstracción y utilizarla adecuadamente.

Objetivos

  1. Conocer el concepto de grafo como modelo de relación binaria. Saber trabajar con las diferentes representaciones de un grafo; en particular, saber encontrar los principales parámetros de un grafo y saber decidir justificadamente si dos grafos dados son isomorfos.
    Related competences: G9.1, CT1.2C,
  2. Conocer las definiciones relativas a recorridos, conexión y distancia en grafos, y saber trabajar con estos conceptos y sus relaciones a nivel teórico y práctico. Conocer y saber aplicar algoritmos para determinar la conectividad y para calcular distancias en grafos.
    Related competences: G9.1, CT1.2C,
  3. Conocer los conceptos de grafo euleriano y de grafo hamiltoniano y saber determinar, justificadamente, si un grafo es euleriano o hamiltoniano. Ser consciente de que se trata de dos problemas en apariencia similares pero muy diferentes desde el punto de vista teórico y computacional.
    Related competences: G9.1, CT1.2C,
  4. Saber qué es un árbol y saber trabajar con las diferentes definiciones equivalentes. Conocer el concepto de árbol generador y su relación con la conectividad, conocer y saber aplicar algoritmos para encontrarlos. Saber codificar árboles con la secuencia de Prüfer.
    Related competences: G9.1, CT1.2C,
  5. Saber operar con matrices. Conocer las operaciones elementales por filas, saber aplicarlas para encontrar el rango de una matriz y para decidir si una matriz es invertible. Conocer las propiedades básicas de los determinantes, saberlas deducir y saberlas aplicar a los cálculos.
    Related competences: G9.1, CT1.2A,
  6. Conocer y saber aplicar el método de Gauss-Jordan para discutir y resolver sistemas lineales, y para calcular la inversa de una matriz.
    Related competences: CT1.2A,
  7. Saber qué es un espacio vectorial. Conocer los conceptos de subespacio vectorial, dependencia e independencia lineal, y base. Saber probar propiedades básicas sobre estos conceptos y sus relaciones.
    Related competences: G9.1, CT1.2A,
  8. Saber operar en un espacio vectorial. Saber trabajar a nivel práctico con los conceptos de subespacio vectorial, combinación lineal, generadores, dependencia lineal y bases. Saber encontrar la matriz de un cambio de base.
    Related competences: CT1.2A,
  9. Conocer los conceptos de aplicación lineal, núcleo, imagen, isomorfismo, endomorfismo. Saber probar propiedades básicas sobre estos conceptos y sus relaciones.
    Related competences: G9.1, CT1.2A,
  10. Saber decidir si una aplicación es lineal. Saber trabajar a nivel práctico con los conceptos de núcleo, imagen, endomorfismo y isomorfismo. Saber encontrar la matriz asociada a una aplicación lineal y saber cambiarla de base.
    Related competences: CT1.2A,
  11. Saber qué son un valor propio, un vector propio y el polinomio característico de un endomorfismo, y saberlos encontrar. Saber probar propiedades básicas sobre los conceptos anteriores. Saber decidir si un endomorfismo es diagonalizable y, en caso afirmativo, saberlo diagonalizar.
    Related competences: G9.1, CT1.2A,

Contenidos

  1. Conceptos básicos de grafos
    Definición de grafo; matrices de adyacencia y de incidencia, lema de las encajadas de manos y sus consecuencias; isomorfismo de grafos, tipos de grafos, subgrafos; operaciones en grafos.
  2. Recorridos, conexión y distancia
    Definiciones de recorrido, camino, ciclo, algunas propiedades de los recorridos; definiciones de grafo conexo y componentes conexas; algoritmo DFS; desigualdad m>= n-1; definiciones de vértices de corte y aristas puente; caracterización; grafos 2-conexos; definiciones de distancia y diámetro; algoritmo BFS, caracterización de grafos bipartitos.
  3. Grafos eulerianos y hamiltonianos
    Definiciones de circuito, sendero y grafo euleriano; caracterización de grafos eulerianos, definiciones de ciclo, camino y grafo hamiltoniano; condiciones necesarias para ser hamiltoniano; lema de Bondy-Chvátal, teoremas de Ore y de Dirac.
  4. Árboles
    Definiciones de bosque, árbol y hoja; caracterización de árboles y corolarios; definición de árbol generador; revisión de DFS y BFS, el teorema de Cayley.
  5. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
    Definición de matriz y tipo de matrices; operaciones lineales y propiedades; producto de matrices y matriz inversa; matriz transpuesta y relación con las operaciones; operaciones elementales por filas; matrices elementales; matriz escalonada y escalonada reducida por filas; rango de una matriz para filas; cálculo de la matriz inversa; sistemas de ecuaciones lineales y sistemas equivalentes; discusión y resolución mediante Gauss-Jordan; definición recursiva de determinante; propiedades de los determinantes; menores de una matriz y relación con el rango.
  6. Espacios vectoriales
    Definición de espacio vectorial; definición de subespacio y caracterización equivalente; subespacio generado; combinaciones lineales, sistemas de generadores; independencia lineal y propiedades; bases y coordenadas, el teorema de Steinitz, dimensión; rango de una matriz; cambios de base, matriz del cambio de base.
  7. Aplicaciones lineales
    Definición de aplicación lineal y propiedades; aplicación lineal definida por una matriz; núcleo e imagen, teorema de la dimensión; caracterización de aplicaciones inyectivas y exhaustivas, isomorfismo de espacios vectoriales, espacios isomorfos; matriz de una aplicación lineal; composición de aplicaciones, cambios de base y aplicaciones lineales; interpretación geométrica de aplicaciones lineales en el plano y el espacio.
  8. Diagonalización
    Valores y vectores propios; diagonalización de aplicaciones lineales; matrices simétricas.

Actividades

Introducción a la teoría de grafos

Desarrollo teórico y práctico de los temas 1 y 2 de la parte de teoría de grafos: conceptos básicos, recorridos, conexión y distancia.
Teoría
9
Problemas
0
Laboratorio
6
Aprendizaje dirigido
1.5
Aprendizaje autónomo
21
Objetivos: 1 2
Contenidos:

Familias destacadas de grafos.

Desarrollo teórico y práctico de los temas 3 y 4 de la parte de teoría de grafos: grafos eulerianos y hamiltonianos, y árboles.
Teoría
9
Problemas
0
Laboratorio
6
Aprendizaje dirigido
1.5
Aprendizaje autónomo
21
Objetivos: 3 4
Contenidos:

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Desarrollo teórico y práctico del tema 5 de la parte de álgebra lineal: matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
Teoría
6
Problemas
0
Laboratorio
4
Aprendizaje dirigido
1
Aprendizaje autónomo
14
Objetivos: 5 6
Contenidos:

Espacios vectoriales

Desarrollo teórico y práctico del tema 6, de la parte de álgebra lineal: espacios vectoriales.
Teoría
6
Problemas
0
Laboratorio
4
Aprendizaje dirigido
1
Aprendizaje autónomo
14
Objetivos: 7 8
Contenidos:

Aplicaciones lineales y diagonalización

Desarrollo teórico y práctico de los temas 7 y 8, de la parte de álgebra lineal: aplicaciones lineales y diagonalización.
Teoría
9
Problemas
0
Laboratorio
6
Aprendizaje dirigido
1.5
Aprendizaje autónomo
21
Objetivos: 9 10 11
Contenidos:

Metodología docente

En las clases de teoría el profesor explicará el tema acompañándolo de ejemplos y resolviendo algunos problemas de la lista.

Durante las clases de taller del alumnado resolverá problemas bajo la supervisión del profesor; algunos de estos problemas deberán ser preparados con antelación.

Método de evaluación

La nota de la asignatura se obtendrá a partir de:
-un examen parcial P a medio cuatrimestre, sobre la primera parte del temario;
-la valoración T del trabajo y el logro de objetivos en sesiones de taller;
-un examen final F, que tendrá dos partes, F1 y F2.

La nota del informe de evaluación será:
0.2 * T +0.35 * MAX (P, F1) +0.45 * F2

Los alumnos que quieran presentarse a la parte F1 deberán comunicarlo con antelación a la coordinadora de la asignatura, por los medios y en los plazos que se harán públicos oportunamente.

Obtendrán la calificación NP (no presentado) aquellos alumnos que no se presenten a ninguna de las pruebas correspondientes al bloque de contenidos 5,6,7,8.

Habrá una parte de los exámenes dedicada a la evaluación de la competencia genérica.

Bibliografía

Básica:

Complementaria:

Web links

Capacidades previas

Las propias que se supone que debe tener un estudiante que ha superado con éxito su etapa no universitaria.

Los conocimientos de la asignatura "Fonaments Matemàtics" (FM), en especial la parte de razonamiento matemático.

En particular, se desaconseja matricularse de M1 si la nota de FM es inferior a 4.