Fonaments Matemàtics

Crèdits
7.5
Tipus
Obligatòria
Requisits
Aquesta assignatura no té requisits , però té capacitats prèvies
Departament
MAT
Aquesta assignatura té dues parts. A la primera part, s'exposen els principis de lògica proposicional i de predicats i de raonament matemàtic necessaris pel curriculum. A la segona, s'estudien els conceptes bàsics de l'aritmètica dels enters: divisibilitat i congruències.

Professorat

Responsable

Altres

Hores setmanals

Teoria
3
Problemes
0
Laboratori
2
Aprenentatge dirigit
0
Aprenentatge autònom
7.5

Competències

Competències Tècniques

Competències tècniques comunes

  • CT1 - Demostrar coneixement i comprensió de fets essencials, conceptes, principis i teories relatives a la informàtica i a les seves disciplines de referència.
    • CT1.2A - Interpretar, seleccionar i valorar conceptes, teories, usos i desenvolupaments tecnològics relacionats amb la informàtica i la seva aplicació a partir dels fonaments matemàtics, estadístics i físics necessaris. CEFB1: capacitat per a resoldre els problemes matemàtics que es plantegin en la enginyeria. Aptitud per a aplicar els coneixements sobre: àlgebra, càlcul diferencial i integral i mètodes numèrics; estadística i optimització.
    • CT1.2C - Interpretar, seleccionar i valorar conceptes, teories, usos i desenvolupaments tecnològics relacionats amb la informàtica i la seva aplicació a partir dels fonaments matemàtics, estadístics i físics necessaris. CEFB3. Capacitat per a comprendre i dominar els conceptes bàsics de matemàtica discreta, lògica, algorísmica i complexitat computacional, i la seva aplicació per al tractament automàtic de la informació mitjançant sistemes computacionals i la seva aplicació per a la resolució de problemes propis de l'enginyeria.

    • Competències Transversals

    Raonament

  • G9 [Avaluable] - Capacitat de raonament crític, lògic i matemàtic. Capacitat de resoldre problemes en la seva àrea d'estudi. Capacitat d'abstracció: capacitat de crear i utilitzar models que reflecteixin situacions reals. Capacitat de dissenyar i realitzar experiments senzills, i analitzar-ne i interpretar-ne els resultats. Capacitat d'anàlisi, de síntesi i d'avaluació.
    • G9.1 - Capacitat de raonament crític, lògic i matemàtic. Capacitat per comprendre l'abstracció i utilitzar-la adequadament.

    • Objectius

    1. Comprendre la importància del llenguatge en la comunicació científica i la necessitat de delimitar-lo i concretar-lo per evitar, en la mesura del què és possible, la ambigüitat
      Competències relacionades: G9.1,
    2. Entendre en què consisteix una demostació matemàtica i conèixer els principals tipus de demostracions amb les quals es trobarà l'estudiant
      Competències relacionades: G9.1,
    3. Entendre el llenguatge dels conjunts com una eina imprescindible en la comunicació matemàtica i també com un instrument
      Competències relacionades: G9.1,
    4. Entendre el llenguatge de les aplicacions com la manera de concretar i estudiar correspondències i regles
      Competències relacionades: G9.1,
    5. Entendre que per a demostrar que una certa propietat és vàlida per a una infinitat de nombres no es pot anar testejant la propietat nombre a nombre sinó que cal usar algun principi que ens possibiliti la demostració
      Competències relacionades: G9.1,
    6. Entendre les propietats de la divisibilitat de nombres enters, calcular el màxim comú divisor aplicant l'algorisme d'Euclides i escriure la identitat de Bézout de dos enters. Calcular nombres primers petits i entendre la dificultat computacional de la factorització d'enters.
      Competències relacionades: CT1.2A, CT1.2C, G9.1,
    7. Entendre el concepte de congruència i calcular amb congruències. Aplicar el llenguatge de congruències per a resoldre problemes aritmètics.
      Competències relacionades: CT1.2A, CT1.2C, G9.1,

    Continguts

    1. Raonament
      Oracions, enunciats i proposicions. Càlcul proposicional formal. Demostracions. Lògica de predicats.
    2. El principi d'inducció
      Inducció simple. Inducció completa.
    3. Conjunts
      Conjunts i elements, relació de pertinença. Operacions elementals amb conjunts. Relacions. Relacions d'equivalència i conjunt quocient.
    4. Funcions
      Funcions. Injectivitat i exhaustivitat. Funció inversa. Imatge i antiimatge. Composició.
    5. Divisibilitat dels nombres enters
      La relació de divisibilitat al conjunt dels nombres enters. Teorema de la divisió entera. Nombres primers. Infinitud dels nombres primers. Garbell d'Eratòstenes. Màxim comú divisor i mínim comú múltiple. Algorisme d'Euclides. Identitat de Bézout. Lema de Gauss.
    6. Congruències de nombres enters
      La relació de congruència. Operacions amb congruències. Inversos modulars: càlcul. Classes de congruència i el conjunt quocient Zn. Operacions amb classes de congruència.
    7. Aplicacions de les congruències
      Exponenciació modular. Equacions lineals en congruències. Teorema xinès dels residus.
      El sistema de criptogràfia RSA.

    Activitats

    Activitat Acte avaluatiu


    Raonament

    Formalisme lògic
    Objectius: 1
    Continguts:
    Teoria
    6h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    6h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    16h

    Conjunts

    Conjunts i demostracions amb conjunts
    Objectius: 2 3
    Continguts:
    Teoria
    7h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    4h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    21h

    Aplicacions

    Aplicacions entre conjunts
    Objectius: 4
    Continguts:
    Teoria
    6h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    6h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    14h

    El principi d'inducció

    Principi d'inducció
    Objectius: 5
    Continguts:
    Teoria
    4h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    4h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    14h

    Examen parcial

    Examen parcial
    Objectius: 1 2 3 5
    Setmana: 10 (Fora d'horari lectiu)
    Teoria
    0h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    0h

    Divisibilitat

    Divisibilitat de nombres enters
    Objectius: 2 5 6
    Continguts:
    Teoria
    5h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    4h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    14h

    Congruències

    Congruències en els enters
    Objectius: 2 6 7
    Continguts:
    Teoria
    5h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    4h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    14h

    Aplicacions de les congruències

    Algunes aplicacions de les congruències
    Objectius: 4 6 7
    Continguts:
    Teoria
    2h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    2h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    7h

    Repàs

    Repàs dels principals continguts i resolució de dubtes

    Teoria
    3h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    7h

    Examen final

    Examen final
    Objectius: 1 2 3 4 5 6 7
    Setmana: 15 (Fora d'horari lectiu)
    Teoria
    0h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    0h

    Examen parcial


    Objectius: 4 6 7
    Setmana: 15 (Fora d'horari lectiu)
    Teoria
    0h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    0h

    Metodologia docent

    A les classes de teoria s'impartiran els continguts teòrics de l'assignatura i s'il·lustraran amb exemples. Als tallers els estudiants treballaran, guiats pel professor, els temes explicats a teoria

    Mètode d'avaluació

    * Hi ha dos exàmens parcials fora d'horari de classe (40% + 40%). Qualificació: P1 (sobre 10) i P2 (sobre 10).

    * Es valorarà el treball i l'assoliment d'objectius en algunes sessions de laboratori (20%). Qualificació: L (sobre 10)

    *La nota d'avaluació continuada dels curs és la següent AC:

    AC= 0.4*P1+0.4*P2+0.2*L

    *L'alumnat pot presentar-se a l'examen final (100%). Qualificació F (sobre 10)

    * La nota del curs és el màxim entre AC i F: max(AC, F)


    Degut a les particularitats de l'assignatura, calcularem la nota de la competència transversal a partir de la nota de l'assignatura així:

    * entre 0 i 4.9 : D
    * entre 5 i 6.9 : C
    * entre 7 i 8.4 : B
    * entre 8.5 i 10 : A

    Bibliografia

    Bàsic

    Complementari

    Capacitats prèvies

    Les pròpies que es suposa que ha de tenir un estudiant que ha superat amb èxit la seva etapa no universitària