Complexitat Computacional

Crèdits
6
Tipus
Obligatòria d'especialitat (Computació Avançada)
Requisits
Aquesta assignatura no té requisits , però té capacitats prèvies
Departament
CS
The theory of computational complexity provides tools for analysing the minimal amount of computational resources that are needed for algorithmically solving a problem. The classical resources that are studied are time and memory usage, but more recent developments have shown that several other computational resources are equally relevant, such as the amount of randomness needed by the algorithm, or the depth of the circuit that implements the algorithm as a measure of its parallelism. Besides introducing the basics of the theory, in this course we will spend some time discussing the relevance of the famous P vs. NP problem and its relatives to computer science and technology, but also its relevance to other areas of science.

Syllabus: Models of computation and computational resources: time, space, randomness, circuit-depth and circuit-size. Basic complexity classes, reductions and completeness, P vs. NP problem. Randomness as a resource and tool, probabilistic proof systems. Complexity of sampling and combinatorial counting problems. Advanced topics: circuit lower bounds, derandomization, PCP-theorem and inapproximability.

Professorat

Responsable

Altres

Hores setmanals

Teoria
2
Problemes
2
Laboratori
0
Aprenentatge dirigit
0
Aprenentatge autònom
4

Competències

Competències Tècniques de cada especialitat

Computació avançada

  • CEE3.1 - Capacitat per a identificar barreres computacionals i analitzar la complexitat de problemes computacionals en diversos àmbits de la ciència i la tecnologia; així com per representar problemes d'alta complexitat en estructures matemàtiques que puguin ser tractades eficientment amb esquemes algorítmics.
  • CEE3.3 - Capacitat per entendre les necessitats computacionals de problemes de disciplines diferents de la informàtica i efectuar contribucions significatives en equips multidisciplinaris que facin servir la computació.

    • Competències Tècniques Generals

    Genèriques

  • CG1 - Capacitat per aplicar el mètode científic en l'estudi i anàlisi de fenòmens i sistemes en qualsevol àmbit de la Informàtica, així com en la concepció, disseny i implantació de solucions informàtiques innovadores i originals.
  • CG3 - Capacitat per al modelatge matemàtic, càlcul i disseny experimental en centres tecnològics i d'enginyeria d'empresa, particularment en tasques de recerca i innovació en tots els àmbits de la Informàtica.

    • Competències Transversals

    Raonament

  • CTR6 - Capacitat de raonament crític, lògic i matemàtic. Capacitat de resoldre problemes en la seva àrea d'estudi. Capacitat d'abstracció: capacitat de crear i utilitzar models que reflecteixin situacions reals. Capacitat de dissenyar i realitzar experiments senzills, i analitzar-ne i interpretar-ne els resultats. Capacitat d'anàlisi, de síntesi i d'avaluació.

    • Bàsiques

  • CB8 - Que els estudiants sàpiguen comunicar les seves conclusions i els coneixements i raons darreres que les sustenten- a públics especialitzats i no especialitzats d'una manera clara i sense ambigüitats.
  • CB9 - Que els estudiants posseeixin les habilitats d'aprenentatge que els permetin continuar estudiant d'una manera que haurà de ser en gran mesura autodirigida o autònoma.

    • Continguts

    1. Computational Models and Complexity Measures
      Turing machine model. RAM model. Boolean circuit model.
      Time complexity. Space complexity. Circuit size. Circuit depth.
      Time and space hierarchy theorems.
    2. P, NP and NP-completeness
      Polynomial time. Reducibilities. Non-deterministic algorithms and class NP. Cook-Levin Theorem. Many other NP-complete problems.
    3. Polynomial-time Hierarchy and Alternations
      Oracle reducibility. NP and co-NP. Levels of the hierarchy. Quantifier alternations. Complete problems.
    4. Space Complexity
      Polynomial space. Unbounded alternations. PSPACE-complete problems.
      Savitch Theorem. Immerman-Szcelepscenyi Theorem.
      Logarithmic space. NL-complete problems.
    5. Randomized Computation
      Bounded-error and zero-error probabilistic polynomial time. Error-reduction.
      Randomized reductions. Valiant-Vazirani reduction to Unique SAT.
    6. Counting and Enumeration
      Some examples: graph reliability, counting matchings and the permanent, partition functions.
      Counting computation paths in non-deterministic machines. Valiant's Theorem.
      Random self-reducibility of the permanent.
    7. Probabilistic Proofs
      Interaction and randomness in proofs. Probabilistic proofs for graph non-isomorphism. Probabilistic proofs for #P and
      Shamir's Theorem: IP = PSPACE.
    8. Circuit Lower Bounds
      Monotone circuits. Lower bounds for clique and perfect matching.
      Bounded-depth circuits. Hastad's switching lemma.
      Approximation by polynomials.

    Activitats

    Activitat Acte avaluatiu


    Submission first problems sheet



    Setmana: 3
    Teoria
    0h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    0h

    Submission second problems sheet



    Setmana: 6
    Teoria
    0h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    0h

    Submission third problems sheet



    Setmana: 9
    Teoria
    0h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    0h

    Submission forth problems sheet



    Setmana: 12
    Teoria
    0h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    0h

    Submission fifth problems sheet



    Setmana: 15
    Teoria
    0h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    0h

    Final exam



    Setmana: 18
    Teoria
    0h
    Problemes
    0h
    Laboratori
    0h
    Aprenentatge dirigit
    0h
    Aprenentatge autònom
    0h

    Metodologia docent

    Blackboard lectures for theory classes and discussion sessions for the problem classes. The theory classes will follow the main textbook for the class [Arora and Barak] rather closely. Since we plan to cover more topics than is possible in the given time, students will be required to read the details in the textbook as homework (a draft of the book is available on-line for free). The aim of the discussion sessions is to solve some problems from that book and to discuss the reading material.

    Mètode d'avaluació

    Students will be required to submit 5 problem/discussion sheets. Each will be given a grade in [0,1] (P1,...,P5).
    There will be a final exam graded in [0,10] (E).
    The final grade of the course will be MAX(P1+P2+P3+P4+P5+E/2, E).

    The problem/discussion sheets will consist of problems from the main textbook [Arora-Barak] and/or multiple choice questions that test if the student understood the material from the theory class (also covered in the main textbook).

    Bibliografia

    Bàsic

    Complementari