Fundamentos Matemáticos

Créditos
6
Tipos
Obligatoria
Requisitos
Esta asignatura no tiene requisitos , pero tiene capacidades previas
Departamento
MAT
Web
https://web.mat.upc.edu/fib/fm-gia/
En la asignatura de Fundamentos Matemáticos introduce la notación y terminología matemática, y se verán los principales métodos de demostración necesarios para seguir con éxito un curso de matemáticas. Además, se introducen los contenidos básicos de la teoría de conjuntos, haciendo especial énfasis en los elementos relacionados con la combinatòria. Finalmente, se hace una breve introducción a la teoría de grafos,

Profesorado

Responsable

  • Mercè Mora Giné (merce.mora@upc.edu)
  • Montserrat Maureso Sánchez (montserrat.maureso@upc.edu)

Horas semanales

Teoría
2
Problemas
2
Laboratorio
0
Aprendizaje dirigido
0
Aprendizaje autónomo
6

Competencias

Competencias Transversales

Transversales

  • CT6 [Avaluable] - Aprendizaje autónomo. Detectar deficiencias en el propio conocimiento y superarlas mediante la reflexión crítica y la elección de la mejor actuación para ampliar dicho conocimiento.

    • Competencias Técnicas Genéricas

    Genéricas

  • CG4 - Razonar, analizando la realidad y diseñando algoritmos y formulaciones que la modelen. Identificar problemas y construir soluciones algorítmicas o matemáticas válidas, eventualmente nuevas, integrando el conocimiento multidisciplinar necesario, valorando distintas alternativas con espíritu crítico, justificando las decisiones tomadas, interpretando y sintetizando los resultados en el contexto del dominio de aplicación y estableciendo generalizaciones metodológicas a partir de aplicaciones concretas.

    • Objetivos

    1. Conocer y saber utilizar la notación de sumatorio. Ser capaz de manipular expresiones con sumatorios.
      Competencias relacionadas: CG4,
      Subcompetences
      • Saber manipular expresiones con sumatorios dobles.
      • Conocer las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas. Saber calcular el término general y la suma de términos consecutivos de estas progresiones.
      • Conocer el símbolo de sumatorio.
      • Saber manipular expresiones con sumatorios.
    2. Conocer y saber utilizar el lenguaje formal y el razonamiento matemático. Ser capaz de entemder y hacer demostraciones.
      Competencias relacionadas: CG4, CT6,
      Subcompetences
      • Conocer los cuantificadores universal y existencial.
      • Conocer los principales métodos de demostración.
      • Conocer los principales conectivos lógicos.
      • Conocer el principio de inducción.
      • Ser capaz de hacer demostraciones matemáticas sencillas.
    3. Conocer el lenguaje de la teoria de conjuntos.
      Competencias relacionadas: CG4,
      Subcompetences
      • Saber que el conjunto de las partes de un conjunto con las operaciones unión e intersección tiene estructura de álgebra de Boole.
      • Conocer las operaciones principales de conjuntos (unión, intersección, diferencia, complementario, conjunto de las partes, producto cartesiano).
      • Saber qué son los números binomiales y conocer algunas de sus propiedades.
      • Saber qué es el cardinal de un conjunto.
    4. Conocer las relaciones de equivalencia.
      Competencias relacionadas: CG4,
      Subcompetences
      • Saber qué es una relación binaria.
      • Saber identificar las relaciones binarias que son relaciones de equivalencia.
      • Saber qué son las clases de equivalencia y qué es una partición. Conocer la relación entre clases de equivalencia y particiones.
    5. Conocer las aplicaciones.
      Competencias relacionadas: CG4,
      Subcompetences
      • Saber identificar una aplicación.
      • Saber calcular imágenes y antiimágenes por una aplicación.
      • Saber identificar si una aplicación es inyectiva, exhaustiva y/o biyectiva.
      • Saber componer aplicaciones.
      • Saber qué es la inversa de una aplicación. Saber calcular la inversa, si existe, en casos sencillos.
    6. Conocer los objetos básicos de la combinatoria.
      Competencias relacionadas: CG4,
      Subcompetences
      • Conocer el principio del palomar.
      • Conocer la definición de cardinal de un conjunto y la diferencia principal entre conjuntos finitos e infinitos.
      • Conocer y saber calcular el número de maneras de seleccionar objetos si se tiene en cuenta o no el orden de los elementos, y si se admite o no repetición de objetos.
      • Saber calcular el número de configuraciones con determinadas propiedades.
    7. Conocer el lenguaje de la teoria de grafos.
      Competencias relacionadas: CG4, CT6,
      Subcompetences
      • Saber identificar los grafos como relación binaria.
      • Saber identificar los árboles. Conocer la caracterización y las propiedades de los árboles.
      • Conocer la terminología principal de la Teoría de grafos.
      • Conocer el Lema del apretón de manos. Saber utilizarlo para deducir propiedades de los grafos.
      • Conocer los diferentes tipos de recorridos en un grafo. Saber calcular la distancia entre dos vértices. Saber calcular el diámetro y el radio de un grafo. Saber encontrar las componentes conexas de un grafo. Saber qué son los vértices de corte y las aristas puente.

    Contenidos

    1. Formalismo y demostraciones.
      Notación sumatorio. Manipulación de sumatorios. Sumatorios dobles. Progresiones aritméticas y geométricas.
      Proposiciones. Conectivos lógicos. Tablas de verdad. Cuantificadores. Métodos de demostracion. Principio de inducción.
    2. Teoría de conjuntos
      Conjuntos. Cardinal de un conjunto. Subconjuntos. Representación de un subconjunto como palabra binaria. Números binomiales. Operaciones con conjuntos: unión, intersección, diferencia, complementario, producto cartesiano. Conjunto de las partes de un conjunto.
      Relaciones binarias. Relaciones de equivalencia. Clases de equivalencia. Particiones. Conjunto cociente.
      Aplicaciones. Imágenes y antiimágenes. Composición. Aplicaciones inyectivas, exhaustivas y biyectivas. Inversa.
    3. Combinatoria
      Cardinales. Conjuntos finitos e infinitos. Principio del palomar. Permutaciones y combinaciones con y sin repetición. Números binomiales. Permutaciones de un multiconjunto. Números multinomiales. Principio de inclusión-exclusión.
    4. Grafos
      Grafos. Formas de representar un grafo. Grados. Matriz de adyacencia. Lema del apretón de manos. Isomorfismo de grafos. Operaciones con grafos. Recorridos. Conexión. Distancia. Vértices de corte y aristas puente. Árboles. Árboles generadores.

    Actividades

    Actividad Acto evaluativo


    Sumatorios

    El estudiante debe estudiar y asimilar los conceptos explicados en clase de teoría y aplicarlos para hacer los ejercicios que se indiquen y que se resolverán en las clases de problemas.
    Objetivos: 1
    Contenidos:
    Teoría
    2h
    Problemas
    2h
    Laboratorio
    0h
    Aprendizaje dirigido
    0h
    Aprendizaje autónomo
    6h

    Razonamiento

    El estudiante debe estudiar y asimilar los conceptos explicados en clase de teoría y aplicarlos para hacer los ejercicios que se indiquen y que se resolverán en clases de problemas.
    Objetivos: 2
    Teoría
    4h
    Problemas
    4h
    Laboratorio
    0h
    Aprendizaje dirigido
    0h
    Aprendizaje autónomo
    12h

    Conjuntos

    El estudiante debe estudiar y asimilar los conceptos explicados en clase de teoría y aplicarlos para hacer los ejercicios que se indiquen y que se resolverán en clases de problemas.
    Objetivos: 3
    Contenidos:
    Teoría
    2h
    Problemas
    4h
    Laboratorio
    0h
    Aprendizaje dirigido
    0h
    Aprendizaje autónomo
    12h

    Relaciones de equivalencia

    El estudiante debe estudiar y asimilar los conceptos explicados en clase de teoría y aplicarlos para hacer los ejercicios que se indiquen y que se resolverán en clases de problemas.
    Objetivos: 4
    Teoría
    2h
    Problemas
    2h
    Laboratorio
    0h
    Aprendizaje dirigido
    0h
    Aprendizaje autónomo
    6h

    Aplicaciones

    El estudiante debe estudiar y asimilar los conceptos explicados en clase de teoría y aplicarlos para hacer los ejercicios que se indiquen y que se resolverán en clases de problemas.
    Objetivos: 5
    Teoría
    2h
    Problemas
    2h
    Laboratorio
    0h
    Aprendizaje dirigido
    0h
    Aprendizaje autónomo
    6h

    Examen parcial

    Examen parcial correspondiente a la primera parte del curso.
    Objetivos: 1 2 3 4
    Semana: 8 (Fuera de horario lectivo)
    Teoría
    0h
    Problemas
    0h
    Laboratorio
    0h
    Aprendizaje dirigido
    0h
    Aprendizaje autónomo
    0h

    Combinatoria

    El estudiante debe estudiar y asimilar los conceptos explicados en clase de teoría y aplicarlos para hacer los ejercicios que se indiquen y que se resolverán en clases de problemas.
    Objetivos: 6
    Contenidos:
    Teoría
    5h
    Problemas
    8h
    Laboratorio
    0h
    Aprendizaje dirigido
    0h
    Aprendizaje autónomo
    12h

    Grafos

    El estudiante debe estudiar y asimilar los conceptos explicados en clase de teoría y aplicarlos para hacer los ejercicios que se indiquen y que se resolverán en clases de problemas.
    Objetivos: 7
    Contenidos:
    Teoría
    8h
    Problemas
    8h
    Laboratorio
    0h
    Aprendizaje dirigido
    0h
    Aprendizaje autónomo
    16h

    Examen final

    Examen final sobre los contenidos de la segunda parte del curso, pero que puede requerir del conocimiento y apicació los métodos vistos en la primera parte del curso,
    Objetivos: 1 2 3 4 5 6 7
    Semana: 15 (Fuera de horario lectivo)
    Teoría
    0h
    Problemas
    0h
    Laboratorio
    0h
    Aprendizaje dirigido
    0h
    Aprendizaje autónomo
    0h

    Metodología docente

    Las clases de teoría consisten en la exposición de contenidos los teóricos junto con ejemplos y posibles aplicaciones.

    En las clases de problemas se resolverán ejercicios que los estudiantes deberán preparar previamente.

    Método de evaluación

    La nota de la asignatura se obtendrá a partir de:
    -un examen parcial, P;
    -un examen final, F;
    -la valoración del trabajo y el logro de los objetivos a lo largo del curso, C.

    En el examen parcial se evaluarán los contenidos de la primera parte de la asignatura.

    En el examen final se evaluarán principalmente los contenidos de la segunda parte de la asignatura, pero puede ser necesario aplicar conocimientos y métodos vistos anteriormente.

    Los exámenes parcial y final se realizarán fuera de horas de clase.

    Además, se evaluará el trabajo continuo del estudiante mediante cuestionarios y/o entrega de ejercicios realizados en clase o fuera de horas clase.

    La evaluación de la competencia transversal está incluida en las pruebas indicadas anteriormente, ya que e requiere el desarrollo de la competencia transversal para alcanzar los objetivos de la asignatura.

    La nota final de la asignatura será:
    máx(0.30*P+0.50*F +0.20*C,F)
    donde P, F y C son las notas sobre 10 del examen parcial, del examen final y del trabajo continuo realizado por el estudiante, respectivemente.

    La calificación de no presentado (NP) se otorgará al estudiante que no se haya presentado ni al examen parcial ni al examen final.

    La nota de la competencia transversal se obtiene en función de la nota final de la asignatura según la tabla siguiente:
    A: de 8 a 10
    B: de 6.5 a 7.9
    C: de 5 a 6.4
    D: de 0 a 4.9
    NA: NP

    Reevaluación: sólo se pueden presentar a la reevaluación aquellas personas que, habiéndose presentado en el examen final lo hayan suspendido. La nota máxima que se puede obtener en la reevaluación es un 7.

    Bibliografía

    Básico

    Complementario

    Web links

    Capacidades previas

    Se supone que el estudiante ha alcanzado los objetivos y conocimientos de las matemáticas de la educación secundaria previa al acceso a la universidad.