Computació Numèrica (CNU)

Aquesta assignatura ofereix als alumnes una primera visió força completa de l'anàlisi numèrica a fi d'aconseguir un bon coneixement dels seus aspectes fonamentals i familiaritzar-se amb els conceptes, mètodes bàsics, tècniques actuals, aplicatius per a PCs i llibreries actuals que hi ha en el món laboral. La primera i segona part del curs presenten els temes més generals i de visita indispensable per ser fonamentals; la darrera part és on es fa més èmfasi en la resolució d'equacions que qualsevol enginyer hauria d'entendre i saber aplicar: les equacions amb derivades on es presenta una primera aproximació suficient al tema per a que l'alumne tingui els corresponents conceptes i eines amb què puguin interpretar els resultats.
El planteig de l'assignatura consisteix a mostrar a l'alumne el ventall més ampli possible de mètodes i aplicacions per tal d'aconseguir una sòlida formació com a programador i usuari de mètodes numèrics.

Coneixements

1. Anàlisis, programació, interpretació i verificació dels resultats, predicció i documentació del model matemàtic a estudiar.
   Capacitat de coneixement de l'èpsilon de la màquina on s'està treballant.
   Càlcul de funcions numèriques i l'error de propagació i de representació de les dades.
   Capacitat per l'estudi del problema i la seva estabilitat numèrica: problemes mal condicionats.
   Càlcul efectiu de sèries i capacitat d'acceleració de la convergència.
2. Diferenciar entre mètodes d'interpolació i d'aproximació de funcions.
   Dominar els mètodes d'interpolació: sistema lineal, Lagrange, Newton i Txebixev. Saber els avantatges i inconvenients de cadascun d'ells.
   Diferenciar entre interpolació polinòmica lagrangiana i hermitiana, i saber fer-ne ús segons els casos.
   Triar el mètode d'aproximació: error en l'elecció dels nodes, error mínim quadràtic i error de la norma sub-infinit en un interval.
3. Avaluació de la tècnica de resolució a emprar segons el tamany del sistema: directa o iterativa. Estimació del nombre de condició de la matriu del sistema.
   Càlcul efectiu de valors propis i la seva aplicació a diversos models.
   Estudi del mètode d'integració més adient en precisió i temps de càlcul segons la funció i l'interval d'integració.
   Extrapolar a partir d'una fórmula donada. Extrapolació repetida. Aplicació al càlcul d'integrals.
   Construir una fórmula adaptativa d'integració a partir d'una donada.
   Valoració de la integració gaussiana.
4. Analitzar i decidir el mètode més eficient per a calcular les solucions d'una equació no lineal. Estudiar el concepte d'ordre i el de cost computacional per a mètodes iteratius.
5. Aconseguir dominar els mètodes d'integració numèrica d'equacions diferencial més senzills i els problemes que comporta la disminució del pas d'integració o la millora del temps de càlcul amb un pas massa gran.
6. Entendre la minimització d'una funcional.
   Saber exigir certa tolerància al càlcul, comptar el nombre d'iteracions necessaris, introduir un joc de d'aproximacions inicials, aplicar el problema a diversos exemples amb dificultat diversa.
   Considerar les possibilitats que es poden presentar en un problema, aconseguint una adaptabilitat que faci possible la adaptació més àmplia en quant a aquesta diversitat esmentada.
7. Discretitzar les derivades parcials, analitzar l'error local i global del problema, resolució del sistema lineal associat.
8. Saber exigir certa tolerància al càlcul, comptar el nombre d'iteracions necessaris, introduir un joc de d'aproximacions inicials, aplicar el problema a diversos exemples amb dificultat diversa.  
9. Considerar les possibilitats que es poden presentar en un problema, aconseguint una adaptabilitat que faci possible la adaptació més àmplia en quant a aquesta diversitat esmentada.
   

Habilitats

1. Programació en llenguatge de tipus científic tant per a PCs -Matlab, Maple o Octave, Maxima- com per a ordinadors grans -Fortran, C++-.
2. Utilització de llibreries de programes de numèric -de llibres: Forsythe, Kahaner, Press, o llibreries més generals: IMSL, NAG-.
3. Redacció de documents científics incloent-hi fórmules matemàtiques -LATEX-.
4. Capacitat de compaginar els manipuladors simbòlics i les eines numèriques, sintetitzant les seves aportacions al procés.
   Coneixements matemàtics d'aplicació immediata amb un ordinador. Creixement de la cultura matemàtica amb aplicacions a diversos camps.
5. Predisposició i facilitat a enfrontar-se a problemes tot aplicant el mètode científic que fan servir les matemàtiques.
   Possibilitat d'integrar-se en un equip de treball multidisciplinar.

Competències

1. Capacitat per crear i utilitzar models de la realitat.
2. Capacitat de resoldre problemes aplicant els mètodes de la ciència i l'enginyeria
3. Capacitat per dissenyar sistemes, components o processos que s'ajustin a unes necessitats, utilitzant els mètodes, tècniques i eines més adients en cada cas.
4. Capacitat d'actuar autònomament: Saber treballar de forma independent, rebent només la informació indispensable i un mínim de guiatge.
5. Obertura i curiositat intel·lectual.

Classes de Teoria: Les classes de teoria consistiran en la presentació d'un problema real i la definició i construcció dels conceptes, mètodes i tècniques necessaris per poder resoldre la situació i poder fer, a més a més, una predicció per a problemes o situacions pròxims al presentat.

Classes de Problemes: Aquestes classes estaran dedicades principalment a la resolució de problemes que complementen i/o amplien els continguts teòrics presentats i els exemples de les classes de teoria.

Classes de Laboratori: Les classes de laboratori consistiran en l'estudi i visualització dels algorismes treballats a classe de teoria, utilitzant algun software numèric -Matlab, Octave...- més aportacions de manipuladors simbòlics -Maple, Maxima...-. Aquests exercicis seran inicialment introduïts pel professor en un aula de PCs i els estudiants els continuaran de forma interactiva segons un guió de la sessió prèviament preparat.

Pràctiques: Cada estudiant haurà de realitzar cinc pràctiques curtes en C++ corresponents als cinc primers capítols. Aquestes pràctiques consistiran en l'aplicació d'una o diverses rutines proposades pel professor per tal de resoldre un problema pràctic concret i es realitzaran amb el Developper Studio de Microsoft que permet utilitzar el Visual C.

En l'avaluació de l'assignatura intervindran diversos conceptes que conjuntament donaran lloc a la qualificació final:

Les classes de laboratori: pràctiques-exercicis en Matlab o Octave que consisteixen en una explicació introductòria del professor i immediatament posar-se a treballar en una sèrie de càlculs anteriorment preparats i que no s'han d'entregar al final de la sessió sinó que es dóna un termini (2 punts).

Les pràctiques en un llenguatge de programació més clàssic: Fortran o C on les funcions a fer servir ja estan construïdes i cal escriure el programa principal (2 punts).

Els dos exàmens de problemes amb calculadora i llibres (2 + 2 punts) es realitzaran a hores de classe (duració: dues hores).

La prova final corresponent als conceptes més bàsics de teoria (2 punts). Consisteix en una prova amb preguntes de resposta curta.

• GRAU, Miquel; NOGUERA, Miquel: Càlcul numèric, Edicions UPC, 1993.
• Miquel Grau Sánchez, Miquel Noguera Batlle Cálculo numérico, Edicions UPC, 2001.
• Anton Aubanell, Antoni Benseny, Amadeu Delshams Eines bàsiques de càlcul numèric : amb 87 problemes resolts, Universitat Autònoma de Barcelona, 1991.
• J. Douglas Faires, Richard L. Burden Métodos numéricos, International Thomson Paraninfo, 2004.
• Richard L. Burden, J. Douglas Faires Análisis numérico, International Thomson, 2002.
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, Cleve B. Moler Computer methods for mathematical computations, Prentice-Hall, 1977.
• Gene H. Golub, James M. Ortega Scientific computing and differential equations : an introduction to numerical methods, Academic Press, 1992.

• Germund Dahlquist, Ake Björck Numerical methods, Dover,, 2003.
• Carl-Erik Fröberg Introducción al análisis numérico, Vicens-Vives, 1977.
• William H. Press ... [et al.] Numerical recipes. The art of scientific computing, Cambridge University Press, 2007.
• Anthony Ralston, Philip Rabinowitz A First course in numerical analysis, McGraw-Hill,, 1978.
• J.H. Wilkinson The Algebraic eigenvalue problem, Clarendon,, 1965.

1. http://www.math.ysu.edu/~faires/Numerical-Methods/
   Presenta les versions actualitzades dels documents de treball de Maple, Mathematica i Matlab del llibre 'Métodos Numéricos' de Burden & Faires.
   També presenta els programes en C i Fortran que acompanyen al llibre en un CD-ROM.



2. http://www.library.cornell.edu/nr/bookf90pdf.html
   Conté totes les subrutines del llibre 'Numerical Recipes'.



3. http://www.math.ysu.edu/~faires/Numerical-Analysis/
   Pots baixar-te tots els programes en C, Fortran i/o Pascal i tots els fulls de treball de Maple, Mathematica i/o Matlab del llibre 'Análisis Numérico' de Burden & Faires.

És necessari haver aprovat les assignatures M1 i M2 de la fase selectiva.