Àlgebra (AL)

L'objectiu general de l'assignatura es posar a l'abast de l'estudiant aspectes bàsics de l'aritmètica entera, la combinatòria, l'àlgebra lineal i la geometria. Tot insistint en els conceptes i tècniques propis del raonament matemàtic.

Coneixements

1. Conèixer les operacions entre conjunts. Conèixer el concepte d'aplicació i els seus tipus.
2. Conèixer el concepte de divisió euclidiana i el seu ús en el càlcul del màxim comú divisor de dos nombres.
   Conèixer les propietats de divisibilitat.
3. Entendre el concepte de congruència. Conèixer el teoreme de Fermat i el teorema xinès del residu.
   
4. Entendre el concepte i la necessitat de les demostracions. Conèixer diferentes tècniques de demostració, com
   per exemple, el principi d'inducció.
5. Conèixer els principis bàsics del comptatge. Saber el que són els nombres binomials i algunes propietats bàsiques
6. Conèixer les idees bàsiques de l'àlgebra lineal: dependència, independència lineal, bases, ortonormalitat, canvis de base i aplicacions, ortonormalització. Aplicacions lineals.
7. Conèixer les transformacions geomètriques rellevants per a les aplicacions gràfiques a l'espai bidimensional i tridimensional

Habilitats

1. Conjunts i subconjunts. Operar amb conjunts: unió, interssecció, producte cartesià. Saber distingir els diferents tipus d'aplicació.
2. Saber calcular el màxim comú divisor de nombres arbitraris. Saber usar la identitat de Bezout per demostrar
   propietats de divisibilitat.
3. Saber treballar amb congruències: resoldre sistemes usant el teorema xinès del residu, càlcul de potències, entre d'altres.
4. Saber fer demostracions senzilles. Saber com es demostra la falsedat d'una proposició.
5. Saber comptar seleccions d'elements d'un conjunt, ordenades i sense ordenar, amb i sense repetició.
   Aplicar els nombres binomials al comptatge de seleccions. Usar la fórmula del bunimo i les seves aplicacions.
6. Saber utilitzar els conceptes de l'àlgebra lineal per resoldre problemes de geometria i de construcció geomètrica. Dominar el mètode vectorial.
7. Saber utilitzar les transformacions geomètriques afins per resodre problemes de costrucció geomètrica

Competències

1. (1) Capacitat per aplicar les tècniques per construir demostracions lògico-matemàtiques.
2. (1) Capacitat per transformar enunciats informals a enunciats formals, i a l'inrevés.
3. (1) Capacitat per entendre problemes: davant l'enunciat d'un problema, distingir les dades (o els elements de partida), les incògnites (o el que es demana) i les hipòtesis i lleis aplicables.
4. (1) Capacitat d'abstracció. Capacitat d'enfrontar-se a problemes nous recorrent conscientment a estratègies que han estat útils en problemes resolts anteriorment.
5. Capacitat d'actuar autònomament: Saber treballar de forma independent, rebent només la informació indispensable i un mínim de guiatge.
6. (1) Capacitat d'organització del treball personal: capacitat per establir prioritats entre diverses tasques, per planificar el temps i per elaborar i organitzar el propi material de treball.
7. (1) Capacitat per estudiar de diverses fonts, identificant quan la informació rebuda a classe no és suficient i cercant informació complementària.
8. Capacitat d'aprendre autònomament.
9. (1) Capacitat per presentar per escrit, de forma clara i correcta, els resultats de la pròpia feina (a nivell de documentar un lliurament de pràctiques).
10. Capacitat per transmetre idees efectivament de forma escrita.
11. Coneixement d'una llengua estrangera

Les classes de teoria responen a l'esquema clàssic de classe magistral.
Les classes de problemes seran participatives.

L'avaluació serà contínua preferentment i es basarà en els exàmens següents:

P (examen parcial), comú a tots els grups, de la part inicial del temari.
E (examen a classe), específic de cada grup, de la part intermitja del temari
F (examen final), de la part final del temari

La nota final es calcularà per: N=0.3P+0.25E+0.45F (P,E,F són notes sobre 10)

Qui no segueixi l'avaluació contínua o hi vulgui renunciar haurà de realitzar un examen final més llarg, per cobrir el temari complet, i la nota corresponent serà la que li quedarà com a nota final.

L'enunciat de l'examen final tindrà la part corresponent a F, que és la d'avaluació contínua, i una segona part extra (EXT), que només hauran de contestar els que no hagin seguit l'avaluació contínua o hi renuncïin. En aquest últim cas la nota serà la corresponent a F (valor: 45%) i EXT (valor: 55%).

La renúncia a l'avaluació contínua es pot fer en el moment de l'examen final (F) i sense que calgui dir-ho explícitament. La presentació d'algun dels exercicis de la part EXT significa renúncia automàtica. La renúncia és total, no parcial.

Qualsevol intent de frau realitzat durant el curs comportarà l'aplicació de la normativa acadèmica general de la UPC i l'inici d'un procés disciplinari.

• K. H. Rosen Discrete Mathematics and its applications, McGraw-Hill International Editions, 5ena edició, 2003.
• R. P. Grimaldi Matemáticas Discreta y Combinatoria, Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, 3era edició, 1997.
• H. Anton Álgebra Lineal, Editorial Limusa Wiley, 3era edició, 2003.

• N. L. Biggs Matemática Discreta, Editorial Vicens Vives, 1994.
• K. P. Bogart Matemáticas Discretas, Editorial Limusa, 1996.
• Lengyel Mathematics for 3D game programming and computer graphics, Editorial Charles River Media , 2003.
• A. Shifrin Linear algebra, a geometrical approach, Editorial Freeman, .
• J. Trias Geometria per a la informàtica gràfica i CAD, Edicions UPC, .

1. http://www-ma2.upc.es/algebra
   Pàgina web de l'assignatura:
   http://www-ma2.upc.es/algebra

Tenir una noció bàsica del concepte de conjunt i d'aplicació.

Saber treballar amb desigualtats.

Conèixer els nombres enters i les porpietats de les operacions

Saber operar amb matrius: sumar, multiplicar, invertir. Saber calcular el rang d'una matriu i determinants.
Saber resoldre sistemes lineals pel mètode de Gauss.

Saber trobar les equacions de rectes i plans a R^2 i R^3. Reconèixer les posicions relatives entre rectes i
plans a R^3. Resolució de problemes mètrics bàsics al pla i a l'espai.
Producte escalar ordinari i producte vectorial. Mòdul.