Saltar al contingut Menu
Mapa
  • Inici
  • Informació
  • Contacte
  • Mapa

Càlcul (CAL)

Crèdits Dept. Tipus Requisits
9.0 (7.2 ECTS) MAT
  • Obligatòria per a l'EI
  • Obligatòria per a l'ETIG
  • Obligatòria per a l'ETIS
   

Professors

Responsable:  (-)
Altres:(-)

Objectius Generals

És possible que, en l'exercici de la seva professió, l'enginyer informàtic es trobi amb problemes que involucrin càlculs. Malgrat que habitualment l'informàtic no fa aquests càlculs, sinó que els rep fets, els ha de poder implementar i, per això, és convenient que els pugui entendre i que estigui en condicions de consultar bibliografia. D'altra banda, en algunes assignatures de la carrera, s'ha de saber realitzar certs càlculs sense començar de zero.

Així, l'objectiu general de l'assignatura és que, en acabar el curs, els estudiants d'informàtica estiguin en condicions de conèixer i dominar, des del punt de vista d'usuaris, els conceptes i les tècniques fonamentals del càlcul matemàtic. Més concretament, el curs està orientat a la comprensió i utilització del concepte de funció d'una i de diverses variables.

Objectius Específics

Coneixements

  1. Conèixer i entendre les propietats i representació gràfica de les funcions elementals.
  2. Conèixer i entendre els conceptes bàsics de la integració de funcions de una variable: interpretació geomètrica, càlcul de primitives e integrals impròpies.
  3. Conèixer i entendre els conceptes bàsics de les successions i sèries numèriques: concepte de límit, criteris de convergència, tècniques per al càlcul de límits de successions, concepte de suma, criteris de convergència i tècniques per al càlcul (exacte i aproximat) de la suma de sèries convergents.
  4. Conèixer, entendre i saber utilitzar l'aproximació donada pel Polinomi de Taylor.
  5. Conèixer, entendre i dominar els conceptes bàsics de les funcions de diverses variables: conjunts notables, diferenciació i aplicació al càlcul d'extrems.

Habilitats

  1. Entendre el concepte de pas al límit.
  2. Entendre el concepte de valor exacte, valor aproximat i estimació de l'error
  3. Saber analitzar el comportament local d'una funció d'una variable.
  4. Saber interpretar geomètricament les funcions de diverses variables.
  5. Assolir més habilitat en la manipulació algebraica.
  6. Entendre els raonaments per contradicció i per l'absurd
  7. Fer un ús inteligent dels exemples i dels contraexemples
  8. Tenir presents versions físiques i/o geomètriques de les principals definicions i resultats.

Competències

  1. Capacitat per entendre problemes: davant l'enunciat d'un problema, distingir les dades (o els elements de partida), les incògnites (o el que es demana) i les hipòtesis i lleis aplicables.
  2. Capacitat d'abstracció. Capacitat d'enfrontar-se a problemes nous recorrent conscientment a estratègies que han estat útils en problemes resolts anteriorment.
  3. Capacitat d'aplicar els coneixements de matemàtiques i lògica a la resolució de problemes.
  4. Capacitat d'actuar autònomament: Saber treballar de forma independent, rebent només la informació indispensable i un mínim de guiatge.
  5. Fomentar el recurs a interpretacions físiques o geomètriques, o l'ús de la informàtica, per a la resolució de problemes de tipus matemàtic.
  6. Capacitat d'organització del treball personal: capacitat per establir prioritats entre diverses tasques, per planificar el temps i per elaborar i organitzar el propi material de treball.
  7. Capacitat per estudiar de diverses fonts, identificant quan la informació rebuda a classe no és suficient i cercant informació complementària.
  8. Capacitat per treballar efectivament en grups petits de persones per a la resolució d'un problema de dificultat mitjana.
  9. Capacitat per transmetre idees efectivament de forma escrita.
  10. Assumir la responsabilitat del propi treball

Continguts

Hores estimades de:

T P L Alt L Ext. Est A Ext.
Teoria Problemes Laboratori Altres activitats Laboratori extern Estudi Altres hores fora d'horari fixat

1. Nombres i funcions
T      P      L      Alt    L Ext. Est    A Ext. Total 
5,0 5,0 4,0 0 1,0 10,0 0 25,0
1.1 Nombres reals: Naturals, enters, racionals i reals. Propietats elementals.
1.2 Nombres complexos: Definició. Notacions. Operacions. Fórmula de De Moivre.
1.3 Funcions elementals I: Polinomis. Racionals. Exponencial i logarítmica.
1.4 Funcions elementals II: Trigonomètriqes. Hiperbóliques.
1.5 Alguns teoremes bàsics de funcions: Teorema de Bolzano. Teorema de valor mitjà. Fórmula de propagació de l'error. Regla de Hôpital.
  • Laboratori:
    Pràctica 1. Introducció a Maple
    Pràctica 2. Nombres i funcions amb Maple
  • Activitats de laboratori addicionals:
    LLegir un mini manual de Maple

2. Integració
T      P      L      Alt    L Ext. Est    A Ext. Total 
8,0 8,0 2,0 0 0,5 18,0 0 36,5
2.1 Integral definida: El problema de l'àrea. Integral de Riemann. Propietats elementals.
2.2 Integració aproximada: Regla dels trapezis i fórmula de l'error. Extrapolació. Mètode de Simpson i fórmula de l'error.
2.3 Integral indefinida: Funcions definides per integrals. Teorema Fonamental del Càlcul. Funció primitiva. Regla de Barrow.
2.4 Càlcul de primitives I: Immediates i racionals.
2.5 Càlcul de primitives II: Canvi de variable i per parts.
2.6 Integrals impròpies: Definició. Tipus i exemples. Convergència absoluta i condicional.
2.7 Integrals impròpies de primera espècie: Criteris de convergència. Exemples.
2.8 Integrals impròpies de segona espècie: Criteris de convergència. Exemples.
  • Laboratori:
    Pràctica 3. Integració amb Maple
  • Activitats de laboratori addicionals:
    Llegir mini manual de Maple

3. Successions i sèries numèriques
T      P      L      Alt    L Ext. Est    A Ext. Total 
5,0 5,0 1,0 0 0,5 12,0 0 23,5
3.1 Successions numèriques: Definició. Formes d'expressió. Límit d'una successió. Propietats algebraiques. Indeterminacions.
3.2. Succesions acotades: Propietats de convergència. Teorema de convergència monòtona. El nombre e.
3.3 Sèries numèriques: El problema de la suma infinita. Definició de sèrie. Convergència. Exemples: Geomètriques alternades (criteri de Leibnitz).
3.4 Convergència de sèries numèriques: Criteris de convergència: Sèries de termes no negatius: comparació, quocient, arrel n-èsima i integral. Convergència absoluta i condicional.
3.5 Càlcul de la suma: Suma exacta. Suma aproximada: mètode de comparació, integral i alternada.

  • Laboratori:
    Pràctica 4. Sèries
  • Activitats de laboratori addicionals:
    Llegir un document explicatiu de la pràctica (si cal).

4. Sèrie de Taylor
T      P      L      Alt    L Ext. Est    A Ext. Total 
4,0 4,0 1,0 0 0,5 10,0 0 19,5
4.1 Polinomi de Taylor: Aproximació polinòmica. Teorema de Taylor i residu de Lagrange.
4.2 Aplicacions: Càlcul d'extrems. Estudi local d'una funció. Fórmula de propagació de l'error.
4.3 Sèrie de potències: Interval de convergència. Derivació i integració. Suma de sèries.
4.4 Sèrie de Taylor: Convergència. Sèrie de Taylor associada a les funcions elementals.
  • Laboratori:
    Pràctica 4. Polinomi i sèrie de Taylor.
  • Activitats de laboratori addicionals:
    Llegir un document explicatiu de la pràctica (si cal)

5. Funcions de diverses variables
T      P      L      Alt    L Ext. Est    A Ext. Total 
12,0 12,0 2,0 0 0,5 30,0 0 56,5
5.1 Topologia a l'espai n-dimensional: Distància entre dos punts. Frontera, interior i adherència d'un conjunt. Conjunts oberts, tancats, acotats i compactes.
5.2 Corbes i superfícies: Corbes i superfícies notables als espais 2 i 3-dimensionals.
5.3 Funcions de diverses variables: Definició. Domini i recorregut. Conjunts de nivell.
5.4 Derivades parcials: Definició. Interpretació geomètrica. Vector gradient. Pla tangent i recta normal a una superfície en un punt.
5.5 Derivades direccionals: Definició. Interpretació geomètrica. Direcció óptima.
5.6 Corbes i superfícies implícites: Regla de la cadena. Funció implícita. Exemples.
5.7 Polinomi de Taylor: Derivades parcials d'ordre superior. Aproximació polinomial. Fórmula de Taylor i residu de Lagrange.
5.8 Extrems relatius I: Definició. Punts crítics. Condició necessària d'existència.
5.9 Extrems relatius II: Condició suficient d'existència.
5.10 Extrems condicionats: Multiplicadors de Lagrange, classificació, mètode de Lagrange general.
5.11 Extrems absoluts: Teorema de Weierstrass. Localització.
5.12 Aplicacions: Exemples geomèrtrics, físics i informàtics.
  • Laboratori:
    Pràctica 5. Funcions de diverses variables
  • Activitats de laboratori addicionals:
    Llegir un mini manual de gràfics amb Maple.


Total per tipus T      P      L      Alt    L Ext. Est    A Ext. Total 
34,0 34,0 10,0 0 3,0 80,0 0 161,0
Hores addicionals dedicades a l'avaluació 5,0
Total hores de treball per l'estudiant 166,0

Metodologia docent

Classes de teoria; consistiran en la presentació dels conceptes, els mètodes i les tècniques més bàsiques del Càlcul Infinitessimal.

Classes de problemes; dedicades a ampliar els exemples de les classes de teoria amb la resolució de problemes.

Classes de laboratori; amb l'ajut del manipulador símbolic Maple, s'aplicaran els mètodes i les tècniques de les classes teòriques a diferents problemes.

Mètode d'avaluació

La nota final de l'assignatura N s'obté fent:

N = max( 0.15*L + 0.25*P + 0.6*F, 0.15*L + 0.85*F )
on
L = nota de laboratori.
P = nota de l'examen parcial.
F = nota de l'examen final.

Laboratori: nota mitjana de 5 pràctiques, avaluades per un qüestionari que es lliura al final de cada sessió (15%).

Examen parcial: Consisteix en exercicis i/o qüestions teòriques breus (25%).

Examen final: Consisteix en un cert nombre de problemes i/o qüestions teòriques (60%).

Qualsevol intent de frau realitzat durant el curs comportarà l'aplicació de la normativa acadèmica general de la UPC i l'inici d'un procés disciplinari.

Bibliografía bàsica

  • Lubary, J.A.; Brunat, J.M. Cálculo para Ingeniería Informática, Temes Clau 8, Ed. UPC, 2008.
  • Gerald L. Bradley, Karl J. Smith Cálculo, Prentice Hall, 1998.
  • Grau, M. Lliçons de reforç de càlcul., Edicions UPC (Edicions Virtuals), 2000.
  • Miquel Noguera Batlle, Miquel Grau Sànchez Anàlisi matemàtica : pràctiques amb Maple V, Edicions UPC, 1996.
  • Demidovich, B. et al. Problemas y ejercicios de análisis matemático, Ed. Paraninfo, 1988.
  • Antonio Magaña Nieto, José Antonio Lubary Martínez Càlcul I : problemes resolts, Edicions UPC, 1994.
  • José Antonio Lubary Martínez, Antonio Magaña Nieto Càlcul II : problemes resolts, Edicions UPC, 1995.

Bibliografía complementària

  • Alfonsa García López ... [et al.] Cálculo I : teoría y problemas de análisis matemático en una variable, Clagsa, 1994.
  • Alfonsa García López ... [et al.] Cálculo II : teoría y problemas de funciones de varias variables, Clagsa, 2002.
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert Introducción al análisis matemático de una variable, Limusa, 1996.
  • G. Baranenkov... [et al.] Problemas y ejercicios de análisis matemático, Paraninfo, 1993.

Enllaços web

  1. http://www-ma2.upc.es/m2/
    Pàgina web de l'assignatura


Capacitats prèvies

Conèixer els nombres reals i les propietats de les operacions.
Saber operar amb polinomis: sumar, multiplicar, dividir, factoritzar.
Tenir una noció bàsica del concepte de funció.
Conèixer i saber operar amb les funcions exponencials, les funcions logarítmiques i amb les funcions trigonomètriques.
Tenir el concepte de funció contínua. Saber calcular límits de funcions.
Tenir el concepte de funció derivable. Saber calcular derivades de funcions.
Tenir el concepte de primitiva d'una funció. Saber calcular primitives de funcions.


Compartir

 
logo FIB © Facultat d'Informàtica de Barcelona - Contacte - RSS
Aquest web utilitza cookies pròpies per oferir una millor experiència i servei. En continuar amb la navegació entenem que acceptes la nostra política de cookies.
Versió clàssica Versió mòbil