Álgebra (AL)

El objetivo general de la asignatura es poner al alcance del estudiante aspectos básicos de la aritmética entera, la combinatoria, el álgebra lineal y la geometría, insistiendo en los conceptos y técnicas propios del razonamiento matemático.

Conocimientos

1. Conocer las operaciones entre conjuntos. Conocer el concepto de aplicación y sus tipos.
2. Conocer el concepto de división euclídea y su uso en el cálculo del máximo común divisor de dos números. Conocer las propiedades de divisibilidad.
3. Entender el concepto de congruencia. Conocer el teorema de Fermat y el teorema chino del residuo.
4. Entender el concepto y la necesidad de las demostraciones. Conocer diferentes técnicas de demostración, como por ejemplo el principio de inducción.
5. Conocer los principios básicos del contaje. Saber qué son los números binomiales y algunas propiedades básicas.
6. Conocer las ideas básicas del álgebra lineal: dependencia, independencia lineal, bases, ortonormalidad, cambios de base y aplicaciones, ortonormalización. Aplicaciones lineales.
7. Conocer las transformaciones geométricas relevantes para las aplicaciones gráficas al espacio bidimensional y tridimensional

Habilidades

1. Conjuntos y subconjuntos. Operar con conjuntos: unión, intersección, producto cartesiano. Saber distinguir los diferentes tipos de aplicación.
2. Saber calcular el máximo común divisor de números arbitrarios. Saber usar la identidad de Bezout para demostrar propiedades de divisibilidad.
3. Saber trabajar con congruencias: resolver sistemas usando el teorema chino del residuo, cálculo de potencias, entre otros.
4. Saber hacer demostraciones sencillas. Saber cómo se demuestra la falsedad de una proposición.
5. Saber contar selecciones de elementos de un conjunto, ordenadas y sin ordenar, con y sin repetición.Aplicar los números binomiales al contaje de selecciones. Usar la fórmula del bunimo y sus aplicaciones.
6. Saber utilizar los conceptos del álgebra lineal para resolver problemas de geometría y de construcción geométrica. Dominar el método vectorial.
7. Saber utilizar las transformaciones geométricas afines para resolver problemas de construcción geométrica.

Competencias

1. Capacidad para aplicar las técnicas para construir demostraciones lógico-matemáticas.
2. Capacidad para transformar enunciados informales a enunciados formales, y al revés.
3. Capacidad para entender problemas: ante el enunciado de un problema, distinguir los datos (o los elementos de partida), las incógnitas (o lo que se pide) y las hipótesis y leyes aplicables.
4. Capacidad de abstracción. Capacidad para enfrentarse a problemas nuevos recurriendo conscientemente a estrategias que han sido útiles en problemas resueltos anteriormente.
5. Capacidad para actuar autónomamente: Saber trabajar de forma independiente, recibiendo sólo la información indispensable y unas guías mínimas.
6. Capacidad de organización del trabajo personal: capacidad para establecer prioridades entre varias tareas, para planificar el tiempo y para elaborar y organizar el propio material de trabajo.
7. Capacidad para estudiar de varias fuentes, identificando cuándo la información recibida no es suficiente y buscando información complementaria.
8. Capacidad para aprender autónomamente.
9. Capacidad para presentar por escrito, de forma clara y correcta, los resultados del propio trabajo (a nivel de documentar una entrega de prácticas).
10. Capacidad para transmitir ideas efectivamente de forma escrita.
11. Conocimiento de una lengua extranjera.

Las clases de teoría responden al esquema clásico de clase magistral.Las clases de problemas serán participativas.

La evaluación será preferentemente continua y se basará en los exámenes siguientes:

P (examen parcial), común a todos los grupos, de la parte inicial del temario.
E (examen en clase), específico de cada grupo, de la parte intermedia del temario.
F (examen final), de la parte final del temario

La nota final se calculará mediante: N=0.3P+0.25E+0.45F (P,E,F son notas sobre 10)

Quien no siga la evaluación continua o desee renunciar a ella deberá realizar un examen final más extenso, cubriendo el temario completo, y la nota correspondiente será la que quedará como nota final.

El enunciado del examen final contendrá la parte correspondiente a F, que es la de evaluación continua, y una segunda parte extra (EXT), que sólo deberán contestar quienes no hayan seguido la evaluación continua
o renuncien a ella. En este caso la nota será la correspondiente a F (valor: 45%) y EXT (valor: 55%).

La renuncia a la evaluación continua puede realizarse en el momento del examen final (F) sin que sea necesario indicarlo explícitamente. La presentación de alguno de los ejercicios de la parte EXT significa renuncia automática. La renuncia es total, no puede ser parcial.

Cualquier intento de fraude realizado durante el curso comportará la aplicación de la normativa académica general de la UPC i el inicio de un proceso disciplinario.

• K. H. Rosen Discrete Mathematics and its applications, McGraw-Hill International Editions, 5ena edició, 2003.
• R. P. Grimaldi Matemáticas Discreta y Combinatoria, Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, 3era edició, 1997.
• H. Anton Álgebra Lineal, Editorial Limusa Wiley, 3era edició, 2003.

• N. L. Biggs Matemática Discreta, Editorial Vicens Vives, 1994.
• K. P. Bogart Matemáticas Discretas, Editorial Limusa, 1996.
• Lengyel Mathematics for 3D game programming and computer graphics, Editorial Charles River Media , 2003.
• A. Shifrin Linear algebra, a geometrical approach, Editorial Freeman, .
• J. Trias Geometria per a la informàtica gràfica i CAD, Edicions UPC, .

1. http://www-ma2.upc.es/algebra
   

Tener una noción básica del concepto de conjunto y de aplicación.

Saber trabajar con desigualdades.

Conocer los números enteros y las propiedades de las operaciones

Saber operar con matrices: sumar, multiplicar, invertir. Saber calcular el rango de una matriz y determinantes.

Saber resolver sistemas lineales por el método de Gauss.

Saber encontrar las ecuaciones de rectas y planos en R^2 y R^3. Reconocer las posiciones relativas entre rectas y planos en R^3. Resolución de problemas métricos básicos en el plano y en el espacio.

Producto escalar ordinario y producto vectorial. Módulo.