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Cálculo (CAL)

Créditos Dept. Tipo Requisitos
9.0 (7.2 ECTS) MAII
  • Obligatoria para la EI
  • Obligatoria para la ETIG
  • Obligatoria para la ETIS
   

Profesores

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Objectivos Generales

Es posible que, en el ejercicio de su profesión, el ingeniero informático se encuentre con problemas que implican cálculos. Aunque habitualmente el informático no realiza estos cálculos, sino que los recibe hechos, debe poder implementarlos y, por ello, es conveniente que los pueda entender y que esté en condiciones de consultar bibliografía. Por otra parte, en algunas asignaturas de la carrera, se ha de saber realizar ciertos cálculos sin empezar de cero. El objetivo general de la asignatura es que, al acabar el curso, los estudiantes de informática estén en condiciones de conocer y dominar, desde el punto de vista de los usuarios, los conceptos y las técnicas fundamentales del cálculo matemático. Más concretamente, el curso está orientado a la comprensión y la utilización del concepto de función de una y diversas variables.

Objectivos Específicos

Conocimientos

  1. Conocer y entender las propiedades y representación gráfica de las funciones elementales.
  2. Conocer y entender los conceptos básicos de la integración de funciones de una variable: interpretación geométrica, cálculo de primitivas e integrales impropias.
  3. Conocer y entender los conceptos básicos de las sucesiones y series numéricas: concepto de límite, criterios de convergencia, técnicas para el cálculo de límites de sucesiones, concepto de suma, criterios de convergencia y técnicas para el cálculo (exacto y aproximado) de la suma de series convergentes.
  4. Conocer, entender y saber utilizar la aproximación dada por el Polinomio de Taylor.
  5. Conocer, entender y dominar los conceptos básicos de las funciones de varias variables: conjuntos notables, diferenciación y aplicación al cálculo de extremos.

Habilidades

  1. Entender el concepto de paso al límite.
  2. Entender el concepto de valor exacto, valor aproximado y estimación del error.
  3. Saber analizar el comportamiento local de una función de una variable.
  4. Saber interpretar geométricamente las funciones de varias variables.
  5. Lograr más habilidad en la manipulación algebraica.
  6. Entender los razonamientos por contradicción y por el absurdo.
  7. Hacer un uso inteligente de los ejemplos y de los contraejemplos.
  8. Tener presentes versiones físicas y/o geométricas de las principales definiciones y resultados.

Competencias

  1. Capacidad para entender problemas: ante el enunciado de un problema, distinguir los datos (o los elementos de partida), las incógnitas (o lo que se pide) y las hipótesis y leyes aplicables.
  2. Capacidad de abstracción. Capacidad para enfrentarse a problemas nuevos recorriendo conscientemente a estrategias que han sido útiles en problemas resueltos anteriormente.
  3. Capacidad para aplicar los conocimientos de matemáticas y lógica a la resolución de problemas.
  4. Capacidad para actuar autónomamente: Saber trabajar de forma independiente, recibiendo sólo la información indispensable y unas guías mínimas.
  5. Fomentar el recurso a interpretaciones físicas o geométricas, o el uso de la informática, para la resolución de problemas de tipo matemático.
  6. Capacidad de organización del trabajo personal: capacidad para establecer prioridades entre varias tareas, para planificar el tiempo y para elaborar y organizar el propio material de trabajo.
  7. Capacidad para estudiar de varias fuentes, identificando cuando la información recibida en clase no es suficiente y buscando información complementaria.
  8. Capacidad para trabajar efectivamente en grupos pequeños de personas para la resolución de un problema de dificultad media.
  9. Capacidad para transmitir ideas efectivamente de forma escrita.
  10. Asumir la responsabilidad del propio trabajo.

Contenidos

Horas estimadas de:

T P L Alt L Ext. Est O. Ext.
Teoria Problemas Laboratorio Otras actividades Laboratorio externo Estudio Otras horas fuera del horario fijado

1. Números y funciones
T      P      L      Alt    L Ext. Est    O. Ext. Total 
5,0 5,0 4,0 0 1,0 10,0 0 25,0
1.1 Números reales: Naturales, enteros, racionales y reales. Propiedades elementales.



1.2 Números complejos: Definición. Notaciones. Operaciones. Fórmula de De Moivre.



1.3 Funciones elementales I: Polinomios. Racionales. Exponencial y logarítmica.



1.4 Funciones elementales II: Trigonométricas. Hiperbólicas.



1.5 Algunos teoremas básicos de funciones: Teorema de Bolzano. Teorema del valor medio. Fórmula de propagación del error. Regla de l"Hôpital.



  • Laboratorio:
    Práctica 1. Introducción a Maple
    Práctica 2. Números y funciones con Maple

  • Actividades de laboratorio adicionales:
    Leer un mini manual de Maple

2. Integración
T      P      L      Alt    L Ext. Est    O. Ext. Total 
8,0 8,0 2,0 0 0,5 18,0 0 36,5
2.1 Integral definida: El problema del área. Integral de Riemann. Propiedades elementales.



2.2 Integración aproximada: Regla de los trapecios y fórmula del error. Extrapolación. Método de Simpson y fórmula del error.



2.3 Integral indefinida: Funciones definidas por integrales. Teorema Fundamental del Cálculo. Función primitiva. Regla de Barrow.



2.4 Cálculo de primitivas I: Inmediatas y racionales.



2.5 Cálculo de primitivas II: Cambio de variable y por partes.



2.6 Integrales impropias: Definición. Tipo y ejemplos. Convergencia absoluta y condicional.



2.7 Integrales impropias de primera especie: Criterios de convergencia. Ejemplos.



2.8 Integrales impropias de segunda especie: Criterios de convergencia. Ejemplos.









  • Laboratorio:
    Práctica 3. Integración con Maple

  • Actividades de laboratorio adicionales:
    Leer mini manual de Maple

3. Sucesiones y series numéricas
T      P      L      Alt    L Ext. Est    O. Ext. Total 
5,0 5,0 1,0 0 0,5 12,0 0 23,5
3.1 Sucesiones numéricas: Definición. Formas de expresión. Límite de una sucesión. Propiedades algebraicas. Indeterminaciones.
3.2. Sucesiones acotadas: Propiedades de convergencia. Teorema de convergencia monótona. El número e.
3.3 Series numéricas: El problema de la suma infinita. Definición de serie. Convergencia. Ejemplos: Geométricas y alternadas (criterio de Leibnitz).
3.4 Convergencia de series numéricas: Criterios de convergencia: Series de términos no negativos: comparación, cociente, raíz n-ésima e integral. Convergencia absoluta y condicional.
3.5 Cálculo de la suma: Suma exacta. Suma aproximada: método de comparación, integral y alternada.
  • Laboratorio:
    Práctica 4. Series

  • Actividades de laboratorio adicionales:
    Leer un documento explicativo de la práctica (si hace falta).

4. Serie de Taylor
T      P      L      Alt    L Ext. Est    O. Ext. Total 
4,0 4,0 1,0 0 0,5 10,0 0 19,5
4.1 Polinomio de Taylor: Aproximación polinómica. Teorema de Taylor y residuo de Lagrange.



4.2 Aplicaciones: Cálculo de extremos. Estudio local de una función. Fórmula de propagación del error.



4.3 Serie de potencias: Intervalo de convergencia. Derivación e integración. Suma de series.



4.4 Serie de Taylor: Convergencia. Serie de Taylor asociada a las funciones elementales.







  • Laboratorio:
    Práctica 4. Polinomio y serie de Taylor.

  • Actividades de laboratorio adicionales:
    Leer un documento explicativo de la práctica (si hace falta)

5. Funciones de varias variables
T      P      L      Alt    L Ext. Est    O. Ext. Total 
12,0 12,0 2,0 0 0,5 30,0 0 56,5
5.1 Topologia en el espacio n-dimensional: Distancia entre dos puntos. Frontera, interior y adherencia de un conjunt. Conjuntos abiertos, cerrados, acotados i compactos.
5.2 Curvas y superficies: Curvas y superficies notables en los espacios 2 y 3-dimensionales.
5.3 Funciones de varias variables: Definición. Dominio y recorrido. Conjuntos de nivel.
5.4 Derivadas parciales: Definición. Interpretación geométrica. Vector gradiente. Plano tangente y recta normal a una superficie en un punto.
5.5 Derivadas direccionales: Definición. Interpretación geométrica. Dirección óptima.
5.6 Curvas y superficies implícitas: Regla de la cadena. Función implícita. Ejemplos.
5.7 Polinomio de Taylor: Derivadas parciales de orden superior. Aproximación polinomial. Fórmula de Taylor y resto de Lagrange.
5.8 Extremos relativos I: Definición. Puntos críticos. Condición necesaria de existencia.
5.9 Extremos relativos II: Condición suficiente de existencia.
5.10 Extremos condicionados: Multiplicadores de Lagrange, clasificación, método de Lagrange general.
5.11 Extremos absolutos: Teorema de Weierstrass. Localización.
5.12 Aplicaciones: Ejemplos geométricos, físicos e informáticos.
  • Laboratorio:
    Práctica 5. Funciones de varias variables

  • Actividades de laboratorio adicionales:
    Leer un mini manual de gráficos con Maple.


Total por tipo T      P      L      Alt    L Ext. Est    O. Ext. Total 
34,0 34,0 10,0 0 3,0 80,0 0 161,0
Horas adicionales dedicadas a la evaluación 5,0
Total horas de trabajo para el estudiante 166,0

Metodología docente

Clases de teoría; consistirán en la presentación de los conceptos, los métodos y las técnicas más básicas del Cálculo Infinitesimal.

Clases de problemas; dedicadas a ampliar los ejemplos de las clases de teoría con la resolución de problemas.



Clases de laboratorio; con la ayuda del manipulador simbólico Maple, se aplicarán los métodos y las técnicas de las clases teóricas a diferentes problemas.

Método de evaluación

La nota final de la asignatura (N) se obtiene haciendo:

N = max( 0.15*L + 0.25*P + 0.6*F, 0.15*L + 0.85*F )

donde:

L = nota de laboratorio.
P = nota del examen parcial.
F = nota del examen final.

Laboratorio: nota media de 5 prácticas, evaluadas por un cuestionario que se entrega al final de cada sesión (15%).

Examen parcial: Consiste en ejercicios y/o cuestiones teóricas breves (25%).

Examen final: Consiste en un cierto número de problemas y/o cuestiones teóricas (60%).

Cualquier intento de fraude realizado durante el curso comportará la aplicación de la normativa académica general de la UPC i el inicio de un proceso disciplinario.

Bibliografía básica

  • Lubary, J.A.; Brunat, J.M. Cálculo para Ingeniería Informática, Temes Clau 8, Ed. UPC, 2008.
  • Gerald L. Bradley, Karl J. Smith Cálculo, Prentice Hall, 1998.
  • Grau, M. Lliçons de reforç de càlcul., Edicions UPC (Edicions Virtuals), 2000.
  • Miquel Noguera Batlle, Miquel Grau Sànchez Anàlisi matemàtica : pràctiques amb Maple V, Edicions UPC, 1996.
  • Demidovich, B. et al. Problemas y ejercicios de análisis matemático, Ed. Paraninfo, 1988.
  • Antonio Magaña Nieto, José Antonio Lubary Martínez Càlcul I : problemes resolts, Edicions UPC, 1994.
  • José Antonio Lubary Martínez, Antonio Magaña Nieto Càlcul II : problemes resolts, Edicions UPC, 1995.

Bibliografía complementaria

  • Alfonsa García López ... [et al.] Cálculo I : teoría y problemas de análisis matemático en una variable, Clagsa, 1994.
  • Alfonsa García López ... [et al.] Cálculo II : teoría y problemas de funciones de varias variables, Clagsa, 2002.
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert Introducción al análisis matemático de una variable, Limusa, 1996.
  • G. Baranenkov... [et al.] Problemas y ejercicios de análisis matemático, Paraninfo, 1993.

Capacidades previas

Conocer los números reales y las propiedades de las operaciones.
Saber operar con polinomios: sumar, multiplicar, dividir, factorizar.
Tener una noción básica del concepto de función.
Conocer y saber operar con las funciones exponenciales, las funciones logarítmicas y con las funciones trigonométricas.
Tener el concepto de función continua. Saber calcular límites de funciones.
Tener el concepto de función derivable. Saber calcular derivadas de funciones.
Tener el concepto de primitiva de una función. Saber calcular primitivas de funciones.


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